Rätselaufgaben zu besonderen ebenen Figuren

1

Im Quadrat ABCD sind die Dreiecke (1), (2), (3), (4), . . . zu sehen.

Achte bei den folgenden Fragen auf die gestrichelten Hilfslinien.

  1. Welche gemeinsame Besonderheiten besitzen alle diese Dreiecke?

  2. Welchen Bruchteil der Quadratfläche  AQA_Q nimmt das Dreieck (1) ein?

  3. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Flächeninhalt  A(1)A_{\left(1\right)} des Dreiecks (1) und dem Flächeninhalt  A(2)A_{\left(2\right)} des Dreiecks (2)?

  4. Welchen Bruchteil der Quadratfläche  AQA_Q nehmen die beiden Dreiecke (1) und (2) zusammen ein? Wie viel Prozent sind das?

  5. Welchen Bruchteil der Quadratfläche nimmt das Dreieck (4) ein?

  6. Welchen Bruchteil der Quadratfläche nehmen alle Dreiecke (1), (2), (3), (4), . . . zusammen ein?

  7. Was ergibt 14+18+116+132\frac14+\frac18+\frac1{16}+\frac1{32}… ?

2

Im Quadrat ABCD sind die getönten Dreiecke (1), (2), (3), (4), . . . und die ”weißen“ Dreiecke (D1), (D2), (D3), (D4), . . . zu sehen.

  1. Welche gemeinsame Besonderheiten besitzen alle diese Dreiecke?

  2. Welchen Bruchteil der Quadratfläche nimmt das getönte Dreieck (1) ein?

  3. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Flächeninhalt  A(1)A_{\left(1\right)} des Dreiecks (1) und dem Flächeninhalt A(2)A_{\left(2\right)} des Dreiecks (2)? Begründe.

  4. Welchen Bruchteil der Quadratfläche AQ nehmen die beiden getönten Dreiecke (1) und (2) zusammen ein? Wie viel Prozent sind das?

  5. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Flächeninhalt eines dieser immer kleiner werdenden getönten Dreiecke (1), (2), (3), (4),… und seinem jeweiligen Vorgänger? Begründe deine Antwort anhand der Dreiecke (D1), (D2), (D3), (D4) … .

  6. Welchen Bruchteil der Fläche des Quadrates ABCD nimmt das getönte Dreieck (4) ein?

  7. Wie groß sind alle getöänten Dreiecke (1), (2), (3), (4), . . . zusammen?

  8. Was ergibt 12+14+18+116+\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+… ?

  9. Was ergibt 14+18+116+132+\frac14+\frac18+\frac1{16}+\frac1{32}+… ?

3

Der Schweizer Künstler Eugen Jost hat ein Bild gemalt, in dem lauter ineinander geschachtelte Quadrate dargestellt sind. Das Bild oben verdeutlicht dies.

  1. Erkläre, wie Eugen Jost diese Quadrate zustande gebracht hat.

  2. Eine chinesische Spruchweisheit lautet: "Das Unendliche ist ein Quadrat ohne Ecken." Erkläre den Zusammenhang zwischen dieser Aussage und dem Bild.

  3. In der obigen Darstellung sind einige Dreiecke nochmals farbig herausgehoben, die sich im Uhrzeigersinn spiralförmig in das Zentrum Z des Quadrates hineinwinden. Die Spirale beginnt mit dem Dreieck AM1M2{\mathrm{AM}}_1M_2 .

Welche gemeinsame Besonderheiten weisen diese Dreiecke in der Spirale auf?

  1. Welchen Bruchteil des Flächeninhaltes des Quadrates ABCD nimmt das Dreieck  AM1M2{\mathrm{AM}}_1M_2 ein? Wie viel Prozent sind das?

  2. Begründe: Der Flächeninhalt des Dreiecks  PQM2{\mathrm{PQM}}_2 ist halb so groß wie der des Dreiecks AM1M2{\mathrm{AM}}_1M_2 . Betrachte dazu die gestrichelte Hilfslinie [AP].

  3. Zeichne das Quadrat  AM1ZM2{\mathrm{AM}}_1{\mathrm{ZM}}_2 mit einer Seitenlänge von 4 cm. Übertrage das Dreieck PQM2{\mathrm{PQM}}_2 in der richtigen Position. Begründe: Alle Dreiecke in der Spirale des Bildes lassen sich lückenlos in dem Quadrat AM1ZM2{\mathrm{AM}}_1{\mathrm{ZM}}_2 unterbringen.

  4. Begründe: Der Flächeninhalt aller Dreiecke in der Spirale ergibt zusammen ein Viertel des Flächeninhaltes des Quadrates ABCD.

  5. Was ergibt 18+116+132+164\frac18+\frac1{16}+\frac1{32}+\frac1{64}… ?

4

Folgende Figur besteht aus Quadraten und einbeschriebenen Kreisen.Wie ist das Verhältnis des Radius des innersten Kreises zum Radius des äußersten Kreises?

5

Während der Übertragung der US-Tennismeisterschaften 2003 in New York war im Fernsehen ein Firmenlogo zu sehen, das so ähnlich aussah wie die Abbildung unten. Der Halbkreis mit dem Mittelpunkt A und das Dreieck im Inneren des weißen Quadrates wurden zusätzlich eingezeichnet. Eine Seite des mittleren Quadrates ist 3cm lang.

  1. Begründe: Wenn der Flächeninhalt dieses Dreiecks 4,5cm24{,}5\mathrm{cm}^2 beträgt, muss eine Seite des mittleren Quadrates 3 cm lang sein.

  2. Welchen Bruchteil der Gesamtfläche nimmt das Dreieck im Zentrum ein?

  3. Schneide von einem Quadrat aus Papier mit der Seitenlänge 9 cm die vier Ecken so ab, dass der Umriss dieses Logos entsteht.

Wie viel Prozent des ursprüunglichen Papierquadrates sind weggefallen?

Begründe mithilfe des ursprünglichen Papierquadrates, dass das Quadrat im Inneren hat einen Umfang von 12 cm.

6

Während der Übertragung der US-Tennismeisterschaften 2003 in New York war im Fernsehen ein Firmenlogo zu sehen, das so ähnlich aussah wie die Abbildung unten. Der Halbkreis mit dem Mittelpunkt A und das Dreieck im Inneren des weißen Quadrates wurden zusätzlich eingezeichnet. Eine Seite des mittleren Quadrates ist 3cm lang.

a

Begründe: Wenn der Flächeninhalt dieses Dreiecks 4,5cm24{,}5\mathrm{cm}^2 beträgt, muss eine Seite des mittleren Quadrates 3 cm lang sein.

b

Welchen Bruchteil der Gesamtfläche nimmt das Dreieck im Zentrum ein?

c

Schneide von einem Quadrat aus Papier mit der Seitenlänge 9 cm die vier Ecken so ab, dass der Umriss dieses Logos entsteht.

Wie viel Prozent des ursprünglichen Papierquadrates sind weggefallen?

Begründe mithilfe des ursprünglichen Papierquadrates, dass das Quadrat im Inneren einen Umfang von 12 cm hat.

7

Im Quadrat ABCD sind die Dreiecke (1), (2), (3), (4), . . . zu sehen.

Achte bei den folgenden Fragen auf die gestrichelten Hilfslinien.

a

Welche gemeinsame Besonderheiten besitzen alle diese Dreiecke?

b

Welchen Bruchteil der Quadratfläche  AQA_Q nimmt das Dreieck (1) ein?

c

Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Flächeninhalt  A(1)A_{\left(1\right)} des Dreiecks (1) und dem Flächeninhalt A(2)A_{\left(2\right)} des Dreiecks (2)?

d

Welchen Bruchteil der Quadratfläche  AQA_Q nehmen die beiden Dreiecke (1) und (2) zusammen ein? Wie viel Prozent sind das?

e

Welchen Bruchteil der Quadratfläche nimmt das Dreieck (4) ein?

f

Welchen Bruchteil der Quadratfläche nehmen alle Dreiecke (1), (2), (3), (4), . . . zusammen ein?

g

Was ergibt 14+18+116+132\frac14+\frac18+\frac1{16}+\frac1{32}… ?

8

Im Quadrat ABCD sind die getönten Dreiecke (1), (2), (3), (4), . . . und die ”weißen“ Dreiecke (D1), (D2), (D3), (D4), . . . zu sehen.

a

Welche gemeinsame Besonderheiten besitzen alle diese Dreiecke?

b

Welchen Bruchteil der Quadratfläche nimmt das getönte Dreieck (1) ein?

c

Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Flächeninhalt  A(1)A_{\left(1\right)} des Dreiecks (1) und dem Flächeninhalt A(2)A_{\left(2\right)} des Dreiecks (2)? Begründe.

d

Welchen Bruchteil der Quadratfläche AQ nehmen die beiden getönten Dreiecke (1) und (2) zusammen ein? Wie viel Prozent sind das?

e

Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Flächeninhalt eines dieser immer kleiner werdenden getönten Dreiecke (1), (2), (3), (4),… und seinem jeweiligen Vorgänger? Begründe deine Antwort anhand der Dreiecke (D1), (D2), (D3), (D4) … .

f

Welchen Bruchteil der Fläche des Quadrates ABCD nimmt das getönte Dreieck (4) ein?

g

Wie groß sind alle getönten Dreiecke (1), (2), (3), (4), . . . zusammen?

h

Was ergibt 12+14+18+116+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\dots ?

i

Was ergibt 14+18+116+132+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\dots ?

9

Der Schweizer Künstler Eugen Jost hat ein Bild gemalt, in dem lauter ineinander geschachtelte Quadrate dargestellt sind. Das Bild oben verdeutlicht dies.

a

Erkläre, wie Eugen Jost die Quadrate aufgebaut hat.

b

Eine chinesische Spruchweisheit lautet: "Das Unendliche ist ein Quadrat ohne Ecken." Erkläre den Zusammenhang zwischen dieser Aussage und dem Bild.

c

In der obigen Darstellung sind einige Dreiecke nochmals farbig herausgehoben, die sich im Uhrzeigersinn spiralförmig in das Zentrum Z des Quadrates hineinwinden. Die Spirale beginnt mit dem Dreieck AM1M2{\mathrm{AM}}_1M_2 .

Welche gemeinsame Besonderheiten weisen diese Dreiecke in der Spirale auf?

d

Welchen Bruchteil des Flächeninhaltes des Quadrates ABCD nimmt das Dreieck  AM1M2{\mathrm{AM}}_1M_2 ein? Wie viel Prozent sind das?

e

Begründe: Der Flächeninhalt des Dreiecks  PQM2{\mathrm{PQM}}_2 ist halb so groß wie der des Dreiecks AM1M2{\mathrm{AM}}_1M_2 . Betrachte dazu die gestrichelte Hilfslinie [AP].

f

Zeichne das Quadrat  AM1ZM2{\mathrm{AM}}_1{\mathrm{ZM}}_2 mit einer Seitenlänge von 4 cm. Übertrage das Dreieck PQM2{\mathrm{PQM}}_2 in der richtigen Position. Begründe: Alle Dreiecke in der Spirale des Bildes lassen sich lückenlos in dem Quadrat AM1ZM2{\mathrm{AM}}_1{\mathrm{ZM}}_2 unterbringen.

g

Begründe: Der Flächeninhalt aller Dreiecke in der Spirale ergibt zusammen ein Viertel des Flächeninhaltes des Quadrates ABCD.

h

Was ergibt 18+116+132+164\frac18+\frac1{16}+\frac1{32}+\frac1{64}… ?


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