Aufgaben zu Polarkoordinaten

Die Polarkoordinaten können unmittelbar der Aufgabenstellung entnommen werden: $P(7|123°)$

Der Punkt Q ist vom Koordinatenursprung 5,5 LE entfernt.Der Winkel, den er mit der positiven $x$-Achse einschließt, muss von ihr ausgehend (mathematisch richtig) gegen den Uhrzeigersinn gemessen werden; er beträgt daher $360°-\mathrm{42,4}°=\mathrm{317,6}°$. Somit lauten die Polarkoordinaten $Q(\mathrm{5,5}|\mathrm{317,6}°)$.

$x=2\cdot \cos (150°)=2\cdot (-\frac{1}{2}\sqrt{3})=-\sqrt{3}\approx -\mathrm{1,73}$

$y=2\cdot \sin (150°)=2\cdot \frac{1}{2}=1$

$\Rightarrow$ kartesische Koordinaten: $A(-\mathrm{1,73}|1)$

$r=\sqrt{3^2+(-3{)}^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx \mathrm{4,24}$

$\phi ={\tan }^{-1}\left(\frac{-3}{3}\right)+360°={\tan }^{-1}(-1)+360°=-45°+360°=315°$

Für die Umrechnung in Polarkoordinaten musst du den Betrag $r$ sowie den Winkel $\phi$ berechnen.

Den Betrag $r$ berechnest du mit der Formel $r=\sqrt{x^2+y^2}$. Durch Einsetzen der Zahlenwerte aus der Aufgabenstellung erhältst du:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-1{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$

Den Winkel $\phi$ berechnest du mit $\phi =\arccos (\frac{x}{r})$ für $y\ge 0$ bzw. mit $\phi =2\pi -\arccos (\frac{x}{r})$ für $y<0$. In diesem Fall ist $y=\sqrt{3}>0$. Also brauchst du die erste Formel.

$\phi =\arccos (\frac{x}{r})=\arccos (\frac{-1}{2})=\frac{2}{3}\pi$

Also ist der angegebene Punkt in Polarkoordinaten: $(r,\phi )=(2,\frac{2}{3}\pi )$.

Es gilt:

Durch Einsetzen der Zahlenwerte aus der Aufgabenstellung erhältst du:

$x=4\cdot \cos (\frac{4}{3}\pi )=4\cdot (-\frac{1}{2})=-2$

$y=4\cdot \sin (\frac{4}{3}\pi )=4\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})=-2\sqrt{3}$

Der angegebene Punkt lautet in kartesischen Koordinaten also: $(x,y)=(-2,-2\sqrt{3})$.

Die $z$-Koordinate bleibt bei der Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten erhalten. Du musst daher - wie bei den Polarkoordinaten - nur den Betrag $r$ und den Winkel $\phi$ ausrechnen.

Den Betrag $r$ kannst du mit der Formel $r=\sqrt{x^2+y^2}$ ausrechnen. Durch Einsetzen erhältst du:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-2{)}^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Den Winkel $\phi$ berechnest du mit $\phi =\arccos (\frac{x}{r})$ für $y\ge 0$ bzw. mit $\phi =2\pi -\arccos (\frac{x}{r})$ für $y<0$. In diesem Fall ist $y=2>0$. Also brauchst du die erste Formel.

$\phi =\arccos (\frac{x}{r})=\arccos (\frac{-2}{2\sqrt{2}})=\arccos (-\frac{1}{\sqrt{2}})=\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{3}{4}\pi$

Die Darstellung des Punktes in Zylinderkoordinaten lautet also: $(r,\phi ,z)=(2\sqrt{2},\frac{3}{4}\pi ,3)$.

Die $z$-Koordinate bleibt bei der Umrechnung dieselbe. Du musst also nur noch die $x$ und $y$ Koordinate berechnen.

Die Formeln hierfür sind genau wie bei den Polarkoordinaten:

Durch Einsetzen erhältst du:

$x=r\cdot \cos (\phi )=3\cdot \cos (\frac{\pi }{3})=3\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

$y=r\cdot \sin (\phi )=3\cdot \sin (\frac{\pi }{3})=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Damit lautet die Darstellung des Punktes in kartesischen Koordinaten: $(x,y,z)=(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2},-4)$.

Für die Umrechnung in Kugelkoordinaten musst du den Betrag $r$ sowie die beiden Winkel $\phi$ und $\theta$ berechnen.

Die Formel für $r$ lautet: $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Durch Einsetzen der Zahlenwerte aus der Aufgabenstellung erhältst du:

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{(2\sqrt{3}{)}^2+6^2+(-4{)}^2}=\sqrt{12+36+16}=\sqrt{64}=8$

Die Formel für $\theta$ ist: $\theta =\arccos (\frac{z}{r})$. Setze die Zahlenwerte aus der Aufgabenstellung ein:

$\theta =\arccos (\frac{z}{r})=\arccos (\frac{-4}{8})=\arccos (-\frac{1}{2})=\frac{2}{3}\pi$

Den Winkel $\phi$ berechnest du mit $\phi =\arccos (\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})$ für $y\ge 0$ bzw. mit $\phi =2\pi -\arccos (\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})$ für $y<0$. In diesem Fall ist $y=6>0$. Also brauchst du die erste Formel.

$\phi =\arccos (\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})=\arccos (\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{(2\sqrt{3}{)}^2+6^2}})=\arccos (\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{12+36}})=\arccos (\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{48}})=\arccos (\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}})=\arccos (\frac{1}{2})=\frac{1}{3}\pi$

Also ist der Punkt in Kugelkoordinaten: $(r,\phi ,\theta )=(8,\frac{1}{3}\pi ,\frac{2}{3}\pi )$.

Es gelten folgende Formeln:

Setze die Werte aus der Aufgabenstellung ein:

$x=r\cdot \cos (\phi )\cdot \sin (\theta )=8\cdot \cos (\frac{\pi }{4})\cdot \sin (\frac{\pi }{6})=8\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=2\sqrt{2}$

$y=r\cdot \sin (\phi )\cdot \sin (\theta )=8\cdot \sin (\frac{\pi }{4})\cdot \sin (\frac{\pi }{6})=8\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=2\sqrt{2}$

$z=r\cdot \cos (\theta )=8\cdot \cos (\frac{\pi }{6})=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$

Also lautet die Darstellung des Punktes in kartesischen Koordinaten: $(x,y,z)=(2\sqrt{2},2\sqrt{2},4\sqrt{3})$.