Aufgaben zu Polarkoordinaten

Die Polarkoordinaten können unmittelbar der Aufgabenstellung entnommen werden: $P(7|123°)$

Der Punkt Q ist vom Koordinatenursprung 5,5 LE entfernt.Der Winkel, den er mit der positiven $x$-Achse einschließt, muss von ihr ausgehend (mathematisch richtig) gegen den Uhrzeigersinn gemessen werden; er beträgt daher $360°-42{,}4°=317{,}6°$. Somit lauten die Polarkoordinaten $Q(5{,}5|317{,}6°)$.

$x=2\cdot\cos(150°)=2\cdot(-\frac{1}{2}\sqrt{3})=-\sqrt{3}\approx-1{,}73$

$y=2\cdot\sin(150°)=2\cdot\frac{1}{2}=1$

$\Rightarrow$ kartesische Koordinaten: $A(-1{,}73|1)$

$r=\sqrt{3^2+(-3)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx4{,}24$

$\varphi=\tan^{-1}\left(\frac{-3}{3}\right)+360°=\tan^{-1}(-1)+360°=-45°+360°=315°$

Für die Umrechnung in Polarkoordinaten musst du den Betrag $r$ sowie den Winkel $\varphi$ berechnen.

Den Betrag $r$ berechnest du mit der Formel $r=\sqrt{x^2+y^2}$. Durch Einsetzen der Zahlenwerte aus der Aufgabenstellung erhältst du:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$

Den Winkel $\varphi$ berechnest du mit $\varphi=\arccos(\frac{x}{r})$ für $y\geq0$ bzw. mit $\varphi=2\pi - \arccos(\frac{x}{r})$ für $y<0$. In diesem Fall ist $y=\sqrt{3}>0$. Also brauchst du die erste Formel.

$\varphi=\arccos(\frac{x}{r})=\arccos(\frac{-1}{2}) = \frac{2}{3} \pi$

Also ist der angegebene Punkt in Polarkoordinaten: $(r, \varphi)=(2, \frac{2}{3} \pi)$.

Es gilt:

Durch Einsetzen der Zahlenwerte aus der Aufgabenstellung erhältst du:

$x=4 \cdot \cos(\frac{4}{3}\pi)=4 \cdot (-\frac{1}{2})=-2$

$y = 4 \cdot \sin(\frac{4}{3}\pi)=4 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2\sqrt{3}$

Der angegebene Punkt lautet in kartesischen Koordinaten also: $(x,y)=(-2, -2\sqrt{3})$.

Die $z$-Koordinate bleibt bei der Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten erhalten. Du musst daher - wie bei den Polarkoordinaten - nur den Betrag $r$ und den Winkel $\varphi$ ausrechnen.

Den Betrag $r$ kannst du mit der Formel $r= \sqrt{x^2+y^2}$ ausrechnen. Durch Einsetzen erhältst du:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Den Winkel $\varphi$ berechnest du mit $\varphi=\arccos(\frac{x}{r})$ für $y\geq0$ bzw. mit $\varphi=2\pi - \arccos(\frac{x}{r})$ für $y<0$. In diesem Fall ist $y=2>0$. Also brauchst du die erste Formel.

$\varphi=\arccos(\frac{x}{r})=\arccos(\frac{-2}{2\sqrt{2}})=\arccos(-\frac{1}{\sqrt{2}})=\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{3}{4} \pi$

Die Darstellung des Punktes in Zylinderkoordinaten lautet also: $(r, \varphi, z)=(2\sqrt{2}, \frac{3}{4}\pi, 3)$.

Die $z$-Koordinate bleibt bei der Umrechnung dieselbe. Du musst also nur noch die $x$ und $y$ Koordinate berechnen.

Die Formeln hierfür sind genau wie bei den Polarkoordinaten:

Durch Einsetzen erhältst du:

$x=r\cdot \cos(\varphi)=3 \cdot \cos(\frac{\pi}{3})=3 \cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{2}$

$y=r \cdot\sin(\varphi)=3 \cdot \sin(\frac{\pi}{3})=3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}= \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Damit lautet die Darstellung des Punktes in kartesischen Koordinaten: $(x,y,z)=(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, -4)$.

Für die Umrechnung in Kugelkoordinaten musst du den Betrag $r$ sowie die beiden Winkel $\varphi$ und $\theta$ berechnen.

Die Formel für $r$ lautet: $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Durch Einsetzen der Zahlenwerte aus der Aufgabenstellung erhältst du:

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+6^2+(-4)^2}=\sqrt{12+36+16}=\sqrt{64}=8$

Die Formel für $\theta$ ist: $\theta=\arccos(\frac{z}{r})$. Setze die Zahlenwerte aus der Aufgabenstellung ein:

$\theta=\arccos(\frac{z}{r})=\arccos(\frac{-4}{8})=\arccos(-\frac{1}{2})=\frac{2}{3} \pi$

Den Winkel $\varphi$ berechnest du mit $\varphi=\arccos(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})$ für $y\geq0$ bzw. mit $\varphi=2\pi - \arccos(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})$ für $y<0$. In diesem Fall ist $y=6>0$. Also brauchst du die erste Formel.

$\varphi=\arccos(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})=\arccos(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{(2\sqrt{3})^2+6^2}})=\arccos(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{12+36}})= \arccos(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{48}})= \arccos(\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}})= \arccos(\frac{1}{2})=\frac{1}{3} \pi$

Also ist der Punkt in Kugelkoordinaten: $(r, \varphi, \theta)=(8, \frac{1}{3}\pi, \frac{2}{3}\pi)$.

Es gelten folgende Formeln:

Setze die Werte aus der Aufgabenstellung ein:

$x=r\cdot \cos(\varphi)\cdot \sin(\theta)=8 \cdot \cos(\frac{\pi}{4}) \cdot \sin(\frac{\pi}{6})=8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}=2\sqrt{2}$

$y=r\cdot \sin(\varphi)\cdot \sin(\theta)=8 \cdot \sin(\frac{\pi}{4}) \cdot \sin(\frac{\pi}{6})=8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}=2\sqrt{2}$

$z = r \cdot \cos(\theta)=8 \cdot \cos(\frac{\pi}{6})=8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}= 4\sqrt{3}$

Also lautet die Darstellung des Punktes in kartesischen Koordinaten: $(x,y,z)=(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 4\sqrt{3})$.