Aufgaben zu quadratischen Ungleichungen

Löse folgende Ungleichungen

$- 3 x^{2} - 4 x + 5 \geq 0$

strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$x^{2} - 3 x + 10 \leq 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung
1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen
$x^{2} - 3 x + 10 = 0$
2. Quadratische Gleichung lösen
Löse die quadratische Gleichung $x^{2} - 3 x + 10 = 0$ . Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte für $p$ und $q$ ab und setze sie in die pq-Formel ein:
$p = - 3$ und $q = 10$
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = - 3$ und $q = 10$ ein.
$=$ $- \frac{(- 3)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 3}{2})}^{2} - 10}$
↓
Vereinfache.
$=$ $\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - 10}$
↓
Erweitere $10$ mit $4$ .
$=$ $\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - \frac{40}{4}}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\frac{3}{2} \pm \sqrt{- \frac{31}{4}}$
Der Radikand ist negativ, d.h. die quadratische Gleichung hat keine Lösung.
Der Graph der Funktion $f (x) = x^{2} - 3 x + 10$ hat keine Nullstellen. Für alle $x$ ist $f (x) \neq 0$ .
Es muss nun geprüft werden, ob der Graph komplett oberhalb oder unterhalb der $x$ -Achse verläuft. Setze einen beliebigen x-Wert in die Funktionsgleichung ein, z.B. $x = 0$ :
$f (0) = 0^{2} - 3 \cdot 0 + 10 = 10 > 0$
$\Rightarrow$ Die Funktion $f$ verläuft also komplett oberhalb der $x$ -Achse.
Es gibt keinen $x$ -Wert, der die Ungleichung $x^{2} - 3 x + 10 \leq 0$ erfüllt.
Die Lösungsmenge der Ungleichung ist somit die leere Menge:
$𝕃 = {}$

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$2 x^{2} + 98 > 28 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung
1. Bringe zunächst alle Terme auf eine Seite
$2 x^{2} + 98$ $>$ $28 x$ $- 28 x$
↓
Alle Terme auf eine Seite bringen.
$2 x^{2} - 28 x + 98$ $>$ $0$
Du hast die quadratische Ungleichung $2 x^{2} - 28 x + 98 > 0$ erhalten.
2. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen
$2 x^{2} - 28 x + 98 = 0$
3. Quadratische Gleichung lösen
Löse die quadratische Gleichung $2 x^{2} - 28 x + 98 = 0$ .
Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
$a = 2$ , $b = - 28$ und $c = 98$
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
↓
Setze $a = 2$ , $b = - 28$ und $c = 98$ ein.
$=$ $\frac{- (- 28) \pm \sqrt{(- 28)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 98}}{2 \cdot 2}$
↓
Vereinfache.
$=$ $\frac{28 \pm \sqrt{784 - 784}}{4}$
$=$ $\frac{28 \pm 0}{4}$
$=$ $7$
Du hast als Lösung der quadratischen Gleichung die Doppelnullstelle $x = 7$ erhalten.
3. Lege eine Vorzeichentabelle an
Betrachte die linke Seite der Ungleichung als Funktion: $f (x) = 2 x^{2} - 28 x + 98$
Erstelle eine Vorzeichentabelle für $f (x)$ :
Ergebnis: In beiden Intervallen ist $f (x)$ jeweils positiv.
Lediglich für $x = 7$ ist $f (7) = 0$ .
Für $x \in ℝ \ {7}$ ist also die Ungleichung erfüllt.
4. Angabe der Lösungsmenge
Die Lösungsmenge ist die Vereinigungsmenge der gefundenen Lösungsintervalle.
Somit lautet die Lösungsmenge für die Ungleichung:
$𝕃 =] - \infty; 7 [\cup] 7; \infty [$
Gleichwertig ist auch die folgende Darstellung der Lösungsmenge:
$𝕃 = ℝ \ {7}$
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = - 3$ , $b = - 4$ und $ c = 5$ ein.
	$=$	$\frac{- (- 4) \pm \sqrt{(- 4)^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 5}}{2 \cdot (- 3)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{4 \pm \sqrt{16 + 60}}{(- 6)}$
	$=$	$\frac{4 \pm \sqrt{76}}{(- 6)}$
	$=$	$\frac{4 \pm 2 \cdot \sqrt{19}}{(- 6)}$
	↓	Klammere $2$ aus und kürze.
	$=$	$- \frac{2 \pm \sqrt{19}}{3}$

$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = - 3$ und $q = 10$ ein.
	$=$	$- \frac{(- 3)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 3}{2})}^{2} - 10}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - 10}$
	↓	Erweitere $10$ mit $4$ .
	$=$	$\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - \frac{40}{4}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{3}{2} \pm \sqrt{- \frac{31}{4}}$

$2 x^{2} + 98$	$>$	$28 x$	$- 28 x$
	↓	Alle Terme auf eine Seite bringen.
$2 x^{2} - 28 x + 98$	$>$	$0$

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 2$ , $b = - 28$ und $c = 98$ ein.
	$=$	$\frac{- (- 28) \pm \sqrt{(- 28)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 98}}{2 \cdot 2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{28 \pm \sqrt{784 - 784}}{4}$
	$=$	$\frac{28 \pm 0}{4}$
	$=$	$7$

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1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

2. Quadratische Gleichung lösen

3. Lege eine Vorzeichentabelle an

4. Angabe der Lösungsmenge

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1. Bringe zunächst alle Terme auf eine Seite

2. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

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3. Lege eine Vorzeichentabelle an

4. Angabe der Lösungsmenge

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