Aufgaben zu quadratischen Ungleichungen
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Löse folgende Ungleichungen
−3x2−4x+5≥0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung
1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen
−3x2−4x+5=0
2. Quadratische Gleichung lösen
Löse die quadratische Gleichung −3x2−4x+5=0.
Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte für a, b und c ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
a=−3, b=−4 und c=5
x1,2 = 2a−b±b2−4ac ↓ Setze a=−3, b=−4 und c=5 ein.
= 2⋅(−3)−(−4)±(−4)2−4⋅(−3)⋅5 ↓ Vereinfache.
= (−6)4±16+60 = (−6)4±76 = (−6)4±2⋅19 ↓ Klammere 2 aus und kürze.
= −32±19 Du hast als Lösung x1,2=−32±19 erhalten.
x1=−32+19=3−2−19≈−2,1
und x2=−32−19=3−2+19≈0,8
3. Lege eine Vorzeichentabelle an
Betrachte die linke Seite der Ungleichung als Funktion: f(x)=−3x2−4x+5
Erstelle eine Vorzeichentabelle für f(x):
Ergebnis: Im mittleren Intervall I2 ist f(x)>0.
In der Ungleichung steht ein "≥". In diesem Fall gehören auch die beiden Nullstellen zum Lösungsintervall.
4. Angabe der Lösungsmenge
Somit lautet die Lösungsmenge für die Ungleichung:
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x2−3x+10≤0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung
1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen
x2−3x+10=0
2. Quadratische Gleichung lösen
Löse die quadratische Gleichung x2−3x+10=0. Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte für p und q ab und setze sie in die pq-Formel ein:
p=−3 und q=10
x1,2 = −2p±(2p)2−q ↓ Setze p=−3 und q=10 ein.
= −2(−3)±(2−3)2−10 ↓ Vereinfache.
= 23±49−10 ↓ Erweitere 10 mit 4.
= 23±49−440 ↓ Fasse zusammen.
= 23±−431 Der Radikand ist negativ, d.h. die quadratische Gleichung hat keine Lösung.
Der Graph der Funktion f(x)=x2−3x+10 hat keine Nullstellen. Für alle x ist f(x)=0.
Es muss nun geprüft werden, ob der Graph komplett oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft. Setze einen beliebigen x-Wert in die Funktionsgleichung ein, z.B. x=0:
f(0)=02−3⋅0+10=10>0
⇒Die Funktion f verläuft also komplett oberhalb der x-Achse.
Es gibt keinen x-Wert, der die Ungleichung x2−3x+10≤0 erfüllt.
Die Lösungsmenge der Ungleichung ist somit die leere Menge:
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2x2+98>28x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung
1. Bringe zunächst alle Terme auf eine Seite
2x2+98 > 28x −28x ↓ Alle Terme auf eine Seite bringen.
2x2−28x+98 > 0 Du hast die quadratische Ungleichung 2x2−28x+98>0 erhalten.
2. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen
2x2−28x+98=0
3. Quadratische Gleichung lösen
Löse die quadratische Gleichung 2x2−28x+98=0.
Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte für a, b und c ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
a=2, b=−28 und c=98
x1,2 = 2a−b±b2−4ac ↓ Setze a=2, b=−28 und c=98 ein.
= 2⋅2−(−28)±(−28)2−4⋅2⋅98 ↓ Vereinfache.
= 428±784−784 = 428±0 = 7 Du hast als Lösung der quadratischen Gleichung die Doppelnullstelle x=7 erhalten.
3. Lege eine Vorzeichentabelle an
Betrachte die linke Seite der Ungleichung als Funktion: f(x)=2x2−28x+98
Erstelle eine Vorzeichentabelle für f(x):
Ergebnis: In beiden Intervallen ist f(x) jeweils positiv.
Lediglich für x=7 ist f(7)=0.
Für x∈R\{7} ist also die Ungleichung erfüllt.
4. Angabe der Lösungsmenge
Die Lösungsmenge ist die Vereinigungsmenge der gefundenen Lösungsintervalle.
Somit lautet die Lösungsmenge für die Ungleichung:
Gleichwertig ist auch die folgende Darstellung der Lösungsmenge:
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