Aufgaben
Warum muss man die Zahl 2-2 aus der Definitionsmenge der folgendenen Gleichung ausschließen?
2xx2+4x+4=3\dfrac{2x}{x^2+4x+4}=3
(Hinweis: Du musst die Lösungsmenge nicht bestimmen!)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Term

Teilaufgabe a)

Setze in T(x)=52xx3T(x) =\frac{5-2x}{x-3}die Werte
  • x=4,5x=-4,5
  • x=4x=-4
  • x=32x=-\frac{3}{2}
  • x=0x=0
  • x=1x=1
  • x=212x=2\frac{1}{2}
  • x=313x=3\frac{1}{3}
  • x=4x=4
ein.

%%x%%

%%-4,5%%

%%-4%%

%%-\frac{3}{2}%%

%%0%%

%%1%%

%%2\frac{1}{2}%%

%%3\frac{1}{3}%%

%%4%%

%%T\left(x\right)%%

%%-\frac{28}{15}%%

%%-\frac{13}{7}%%

%%-\frac{16}{9}%%

%%-\frac{5}{3}%%

%%-\frac{3}{2}%%

%%0%%

%%-5%%

%%-3%%

T(4,5)T\left(-4,5\right)==52(4,5)(4,5)3\frac{5-2\cdot\left(-4,5\right)}{\left(-4,5\right)-3}
==52(4,5)(4,5)3\frac{5-2\cdot\left(-4,5\right)}{\left(-4,5\right)-3}
==5(9)7,5\frac{5-\left(-9\right)}{-7,5}
==147,5\frac{14}{-7,5}
==2815-\frac{28}{15}
T(4)T\left(-4\right)==52(4)(4)3\frac{5-2\cdot\left(-4\right)}{\left(-4\right)-3}
==5+87\frac{5+8}{-7}
==137-\frac{13}{7}
T(32)T\left(-\frac{3}{2}\right)==52(32)(32)3\frac{5-2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)}{\left(-\frac{3}{2}\right)-3}
==5(232)(32)3\frac{5-\left(-\frac{2\cdot3}{2}\right)}{\left(-\frac{3}{2}\right)-3}
Schreibe 32\frac{3}{2} als 1,51,5 im Nenner und kürze den Bruch im Zähler: 232=3-\frac{\sout{2}\cdot3}{\sout{2}}=-3
==5(3)1,53\frac{5-\left(-3\right)}{-1,5-3}
==5+34,5\frac{5+3}{-4,5}
==84,5\frac{8}{-4,5}
Erweitere mit 2.
==169-\frac{16}{9}
T(0)T\left(0\right)==52003\frac{5-2\cdot0}{0-3}
==53\frac{5}{-3}
==53-\frac{5}{3}
T(1)T\left(1\right)==52113\frac{5-2\cdot1}{1-3}
==522\frac{5-2}{-2}
==32\frac{3}{-2}
==32-\frac{3}{2}
T(2 12)T\left(2\ \frac{1}{2}\right)==52(212)2123\frac{5-2\cdot\left(2\frac{1}{2}\right)}{2\frac{1}{2}-3}
Setze 2 12=522\ \frac{1}{2}=\frac{5}{2} im Zähler und Nenner ein.
==5252523\frac{5-2\cdot\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}-3}
==5252523\frac{5-\frac{2\cdot5}{2}}{\frac{5}{2}-3}
Kürze den Bruch im Zähler.
==55523\frac{5-5}{\frac{5}{2}-3}
==0523\frac{0}{\frac{5}{2}-3}
Wenn der Zähler 0 ist, wird auch der gesamte Bruch 0.
==00
T(3 13)T\left(3\ \frac{1}{3}\right)==523133133\frac{5-2\cdot3\frac{1}{3}}{3\frac{1}{3}-3}
3 133\ \frac{1}{3} entspricht 3+133+\frac{1}{3}, also ist 3 133=3+133=133\ \frac{1}{3}-3=3+\frac{1}{3}-3=\frac{1}{3}
==523 1313\frac{5-2\cdot3\ \frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}
Setze 3 13=1033\ \frac{1}{3}=\frac{10}{3} im Zähler ein.
==5210313\frac{5-2\cdot\frac{10}{3}}{\frac{1}{3}}
==520313\frac{5-\frac{20}{3}}{\frac{1}{3}}
Multipliziere mit dem Kehrbruch.
==(5203)3\left(5-\frac{20}{3}\right)\cdot3
==5320335\cdot3-\frac{20\cdot3}{3}
Kürze den Bruch.
==152015-20
==5-5
T(4)T\left(4\right)==52443\frac{5-2\cdot4}{4-3}
==581\frac{5-8}{1}
==3-3

Teilaufgabe b)

T(x)=52xx3T\left(x\right)=\frac{5-2x}{x-3}
Wenn du x=3x=3 in den Term T(x)T(x) einsetzt, erhältst du den Nenner 33=03-3 =0. Da jedoch nie durch 00 geteilt werden darf, ist der Term T(x)T(x)_{ } für x=3x=3 nicht definiert.
Der Term T(x)T(x) hat also eine Defintionslücke an der Stelle x=3x=3.
Welche Zahlen sind nicht in der Definitionsmenge der Bruchgleichung enthalten?
Aufgabe Definitionsmenge Graph
4-4
00
2-2
0,50,5

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polstellen

Tipp: Suche die senkrechten Asymptoten!
Die Gleichung ist für bestimmte Zahlen nicht definiert. Sie werden Defintionslücken genannt. Diese müssen also aus der Definitionsmenge rausgenommen werden. Am Graphen erkennt man sie an der senkrechten Asymptote.In diesem Beispiel sind für x=0x=0 beide Terme nicht definiert. Für x=4x=-4 ist gg definiert, aber ff nicht. Für die Definitionsmenge müssen alle solcher Definitionslücken entfernt werden.
Graphen Aufgabe Definitionsmenge
33
11
00
4-4
1-1
2-2
22
44

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polstellen

Tipp: Suche die senkrechten Asymptoten!
Die Gleichung ist für bestimmte Zahlen nicht definiert. Sie werden Defintionslücken genannt. Diese müssen also aus der Definitionsmenge rausgenommen werden. Am Graphen erkennt man sie an der senkrechten Asymptote. In diesem Beispiel erkennt man senkrechte Asymptoten bei 4,1,0,1,3-4,-1,0,1,3. Diese müssen alle aus der Definitionsmenge rausgenommen werden.
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