Aufgaben
Löse die Gleichung sin(2x)=0,5\sin(2x)=0,5 nach xx zwischen 0° und 360°360° auf. Verwende dabei die Umkehrfunktion des Sinus (arcsin).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: trigonometrische Umkehrfunktionen

sin(2x)\sin\left(2x\right)==0,50,5
Wende den arcsin()\arcsin\left(\right) auf beide Seiten an, um das xx aus der Sinusfunktion zu lösen.
2x2x==arcsin(12)\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)|:2:2
xx==arcsin(0,5)2\frac{\arcsin\left(0,5\right)}{2}
x1=302=15x_1=\frac{30^{\circ}}{2}=15^{\circ}
x2=1502=75x_2 = \frac{150^\circ}2 = 75^\circ

Gib die Lösungsmenge folgender Gleichungen an.

%%\left(\sin(x)\right)^2=\frac34%%

Nach x auflösen

 

%%\begin{array}{ccc}\left(\sin(x)\right)^2&=&\frac34\end{array}%%

%%\begin{array}{cc}\vert\;&\sqrt{}\end{array}%%

Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel.

%%\begin{array}{ccccc}&&&&\\\sin\left(x\right)&=&\pm\sqrt{\frac34}&&\end{array}%%

Wende die Wurzelgesetze an.

%%\begin{array}{ccccc}\sin\left(x\right)&=&\pm\frac{\sqrt3}2&\;&\;\end{array}%%

Löse mit Hilfe von %%arsin%% nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{ccccc}x_1&=&\frac{\mathrm\pi}3+2\mathrm{kπ},&k\in\mathbb{Z}\;&\;\\x_2&=&-\frac{\mathrm\pi}3+2\mathrm{kπ},\;&k\in\mathbb{Z}\;&\;\end{array}%%

%%{\textstyle\left(\tan(\mathrm x)\right)}^2=1%%

Nach x auflösen

 

%%\begin{array}{ccc}\left(\tan(x)\right)^2&=&1\end{array}%%

%%\begin{array}{cc}\vert\;&\sqrt{}\end{array}%%

Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel.

%%\begin{array}{ccccc}\tan\left(x\right)&=&\pm\sqrt1&&\end{array}%%

Löse mit Hilfe von %%arctan%% nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{ccccc}\tan\left(x\right)&=&\pm1&&\end{array}%%

%%\begin{array}{ccccc}x_1&=&\frac{\mathrm\pi}4+2\mathrm{kπ},&k\in\mathbb{Z}\;&\;\\x_2&=&-\frac{\mathrm\pi}4+2\mathrm{kπ},\;&k\in\mathbb{Z}\;&\;\end{array}%%

%%\sin(\mathrm x)=1-\left(\cos(\mathrm x)\right)^2%%

Nach x auflösen


sin(x)=1(cos(x))2\begin{array}{ccc}\sin\left(x\right)&=&1-\left(\cos\left(x\right)\right)^2\end{array}
sin(x)=sin(x)2\begin{array}{ccc}\sin\left(x\right)&=&\sin\left(x\right)^2\end{array}

sin(x)sin(x)2  =0    \begin{array}{ccccc}\sin\left(x\right)&-&\sin\left(x\right)^{2\;}=0&\;&\;\end{array}

sin(x)(1sin(x))=0\begin{array}{ccc}\sin\left(x\right)&\cdot&\begin{array}{cc}\left(1-\sin\left(x\right)\right)&=0\end{array}\end{array}

sin(x)=01sin(x)=0\begin{array}{ccccc}\sin\left(x\right)&=0&\vee&1-\sin\left(x\right)&=0\end{array}
Nach x auflösen (mit arcsin).
  x1=kπ  x2=π2+2kπ  ,      kZ\begin{array}{l}\;x_1=k\mathrm\pi\\\;{\mathrm x}_2=\frac{\mathrm\pi}2+2\mathrm{kπ}\;,\;\;\;\mathrm k\in\mathbb{Z}\end{array}

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