Aufgaben zum Quader

Wie lang ist die Raumdiagonale in einem Würfel der Kantenlänge $a=7$?

In grüner Farbe eingezeichnet ist die Diagonale $\overline{AC}$ der unteren Fläche des Würfels, eines Quadrats, die nach dem Satz des Pythagoras die Länge $=a\sqrt2$ besitzt.

In roter Farbe ist die Raumdiagonale des Würfels mit Länge $d$ eingezeichnet.

In gelber Farbe ist die Kante $\overline{CG}$ des Würfels eingezeichnet, deren Länge $a$ ist. Der Trick besteht nun darin, dass das Dreieck $ACG$ rectwinklig ist - mit rechtem Winkel in $C$. Daher lässt sich erneut der Satz des Phthygoras anwenden:

$\Rightarrow\sqrt{3a^2}=d$

$\approx12{,}1\,LE$

$\Rightarrow$ Die Länge $d$ der Raumdiagonalen beträgt etwa $12{,}1$ Längeneinheiten.

$l=4\,\mathrm{cm}$

$b=3{,}2\,\mathrm{cm}$

$h=2{,}5\,\mathrm{cm}$

Für die Oberfläche eines Quaders gilt:

$O_\mathrm{Quader}=2\cdot\left(l\cdot b+l\cdot h+b\cdot h\right)$

Berechne die Deck- und Grundfläche: $\left[2\cdot\left(l\cdot b\right)\right]$

Berechne die Vorder- und Rückfläche: $\left[2\cdot\left(h\cdot b\right)\right]$

$2\cdot\left(3{,}2\,\mathrm{cm}\cdot2{,}5\,\mathrm{cm}\right)=16\,\mathrm{cm}^2$

Berechne die Seitenflächen: $\left[2\cdot\left(l\cdot h\right)\right]$

$2\cdot\left(4\,\mathrm{cm}\cdot2{,}5\,\mathrm{cm}\right)=20\,\mathrm{cm}^2$

Berechne die Oberfläche als Summe der vorher bestimmten Werte.

$O_\mathrm{Quader}=25{,}6\,\mathrm{cm}^2+20\,\mathrm{cm}^2+16\,\mathrm{cm}^2=61{,}6\,\mathrm{cm}^2.$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Oberfläche des Quaders beträgt $61{,}6\,\mathrm{cm}^2$.

Ein Würfel ist unter anderem dadurch charakterisiert, dass die 12 Kanten des Würfels alle gleich lang sind.

Aus der Aufgabenstellung ergibt sich so folgender Ansatz mit der unbestimmten Kantenlänge $x$:

$\Rightarrow$ Eine Würfelkante ist also $8\,\mathrm{cm}$ lang.

Tipp: Benutze den Raddurchmesser für Höhe und Länge des Laderaumes, der die Form eines Quaders hat.

Vorüberlegungen

Berechne das Volumen des Laderaums. Du siehst, dass der Laderaum ein Quader ist. Für sein Volumen benötigst Du also die drei Kantenlängen Höhe $h$, Länge $l$ und Breite $b$ des Quaders.

Schätzen der Maße

Du erkennst , dass der Quader etwa 3 Räder hoch und 5 Räder lang ist. Ein Rad hat einen Durchmesser von $100\, \textrm{cm}= 1\,\text{m}$.

=> $h=3m; l=5m$

Berechnung durch Angabe

Der Quader ist in etwa so breit wie die Frontscheibe.

=> $b=2{,}5m$

Berechnung des Volumens

Die Volumenformel für den Quader lautet: $V=l\cdot b\cdot h$

$V=5m\cdot 2{,}5m\cdot 3m= 37{,}5m³$

Anwendungen

1. Wenn man den Laderaum mit Wasser füllen würde, könnte man 37,5m³, also 37500 Liter transportieren.

2. Tische und Stühle passen nicht lückenlos ineinander, sodass Du weniger Material unterbringen kannst. Deshalb musst Du Dir beim Packen nicht nur überlegen, welche Maße die einzelnen Gegenstände haben, sondern auch, wie sie geschickt ineinander zu stapeln sind.