Aufgaben zu Schnittpunkten von Parabeln mit Geraden oder Parabeln

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Berechne die Schnittpunkte der gegebenen Funktionspaare:
1. $f(x)=\frac14x^2+11{,}9x+6{,}7$ und $g (x) = 11,75 x + 10,48$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte berechnen
  Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die y-Werte gleich setzen und alles auf eine Seite bringen.
  $f (x) = g (x)$
  $\frac14x^2+11{,}9x+6{,}7=11{,}75x+10{,}48$ $\left|-11{,}75x\right.$
  $\frac14x^2+0{,}15x+6{,}7=10{,}48$ $\left|-10{,}48\right.$
  $\frac14x^2+0{,}15x-3{,}78=0$
  Nun haben wir so aufgelöst, dass auf der einen Seite nur noch die Null steht. Jetzt kann man die Mitternachtsformel anwenden.
  $\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-0{,}15\pm\sqrt{0{,}15^2-4\cdot{\displaystyle\frac14}\cdot(-3{,}78)}}{2\cdot{\displaystyle\frac14}}=\frac{-0{,}15\pm1{,}95}{0{,}5}$
  Somit ergeben sich die zwei x-Koordinaten: $x_1=3{,}6$ und $x_2=-4{,}2$
  Diese Werte muss man nun noch in eine der beiden Ausgangsfunktionen einsetzen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x_1:\end{array}$
  $g(3{,}6)=11{,}75\cdot3{,}6+10{,}48=52{,}78$
  $=>\;S_1(3{,}6/52{,}78)$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x_2:\end{array}$
  $g(-4{,}2)=11{,}75\cdot(-4{,}2)+10{,}48=-38{,}87$
  $=>S_2(-4{,}2/-38{,}87)$
  Somit hat man die beiden Schnittpunkte der Funktionen: $S_1(3{,}6\vert52{,}78)$ und $S_2(-4{,}2|-38{,}87)$ .
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2. $t (x) = x^{2} + 3 x + 14$ und $h (x) = - 2,5 x + 8$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte berechnen
  Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die y-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen.
  $t (x) = h (x)$
  $x^2+3x+14=-2{,}5x+8$ $\left|+2{,}5x\right.$
  $x^2+5{,}5x+14=8$ $\left|-8\right.$
  $x^2+5{,}5x+6=0$
  Nun haben wir soweit aufgelöst, dass auf der einen Seite nur noch die Null steht. Jetzt kann man die Mitternachtsformel anwenden.
  $\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-5{,}5\pm\sqrt{5{,}5^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}=\frac{-5{,}5\pm2{,}5}{2}$
  Somit ergeben sich zwei x-Koordinaten: $x_1=-1{,}5$ und $x_{2} = - 4$
  Diese Werte muss man nur noch in eine der beiden Ausgangsfunktionen einsetzen.
  $x_{1} :$
  $h(-1{,}5)=-2{,}5\cdot(-1{,}5)+8=11{,}75$
  $=>S_1(-1{,}5\vert11{,}75)$
  $x_{2} :$
  $h(-4)=-2{,}5\cdot(-4)+8=18$
  $=>S_2(-4\vert 18)$
  Somit hat man die Schnittpunkte der beiden Funktionen: $S_1(-1{,}5\vert11{,}75)$ und $S_2(-4\vert18)$ .
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3. $e(x)=\frac14x^2+2x-4{,}36$ und $h (x) = 1,2 x + 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte berechnen
  Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die $y$ -Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc} e\left(x\right)&=& h\left(x\right)&\\\frac14x^2+2x-4{,}36&=& 1{,}2x+4&\vert-1{,}2x\\\frac14x^2+0{,}8x-4{,}36&=&4&\vert- 4\\ \frac14x^2+0{,}8x-8{,}36&=&0&\end{array}$
  Jetzt lassen sich die Nullstellen mit der Mitternachtsformel bestimmen.
  $\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-0{,}8\pm \sqrt{0{,}8^2-4\cdot\frac14\cdot(-8{,}36)}}{2\cdot\frac14}=\frac{-0{,}8\pm3}{\frac12}$
  $\displaystyle\Rightarrow x_1=4{,}4; x_2=-7{,}6$
  Einsetzen dieser zwei $x$ -Werte in eine der Funktionen liefert die zugehörigen $y$ -Werte und damit die Schnittpunkte A und B:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccl}\mathrm h\left(4{,}4\right)&=&9{,}28&\Rightarrow\mathrm A\left(4{,}4\,|\,9{,}28\right)\\\mathrm h\left(-7{,}6\right)&=&-5{,}24&\Rightarrow\mathrm B\left(-7{,}6\,|\,-5{,}24\right)\end{array}$
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4. $m(x)=\frac94x^2-6{,}25x-9{,}2$ und $n (x) = - 1,3 x - 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte berechnen
  Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die $y$ -Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc} m\left(x\right)&=& n\left(x\right)&\\ \frac94x^2-6{,}25x-9{,}2&=& -1{,}3x-2&\vert+ 2\\ \frac94x^2-6{,}25x-7{,}2&=&-1{,}3x&\vert+1{,}3x\\ \frac94x^2-4{,}95x-7{,}2&=&0&\end{array}$
  Jetzt lassen sich die Nullstellen mit der Mitternachtsformel bestimmen.
  $\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{4{,}95\pm \sqrt{(-4{,}95)^2-4\cdot\frac94\cdot(-7{,}2)}}{2\cdot\frac94}=\frac{4{,}95\pm9{,}45}{\frac92}$
  $\displaystyle\Rightarrow x_1=3{,}2; x_2=-1$
  Einsetzen dieser zwei $x$ -Werte in eine der Funktionen liefert die zugehörigen $y$ -Werte und damit die Schnittpunkte A und B:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccl}\mathrm n\left(3{,}2\right)&=&-6{,}16&\Rightarrow\mathrm A\left(3{,}2\,|\,-6{,}16\right)\\\mathrm n\left(-1\right)&=&-0{,}7&\Rightarrow\mathrm B\left(-1\,|\,-0{,}7\right)\end{array}$
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2
In dieser Aufgabe kreuzen sich jeweils zwei Parabeln. Berechne ihre Schnittpunkte.
1. $f(x)=\frac12x^2+2x-10$ und $g(x)=-\frac12x^2+5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte berechnen
  Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die y-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen.
  $f (x) = g (x)$
  $\frac12x^2+2x-10=-\frac12x^2+5$ $\left|+\frac12x^2\right.$
  $x^{2} + 2 x - 10 = 5$ $\left|-5\right.$
  $x^{2} + 2 x - 15 = 0$
  Nun haben wir so aufgelöst, dass auf der einen Seite nur noch die Null steht. Jetzt kann man jetzt die Mitternachtsformel anwenden.
  $\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-15)}}{2\cdot1}=\frac{-2\pm8}{2}$
  Somit ergeben sich die beiden x-Koordinaten: $x_{1} = - 5$ und $x_{2} = 3$
  Diese Werte muss man nur noch in eine der beiden Ausgangsfunktionen einsetzen.
  $x_{1}$ :
  $g(-5)=-\frac12\cdot(-5)^2+5=-7{,}5$
  $=>S_1=(-5\vert-7{,}5)$
  $x_{2}$ :
  $g(3)=-\frac12\cdot3^2+5=0{,}5$
  $=>S_2=(3\vert0{,}5)$
  Somit hat man die beiden Schnittpunkte der Funktionen $S_1(-5\vert-7{,}5)$ und $S_2(3\vert0{,}5)$ .
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2. $e(x)=2x^2-4x+1{,}9$ und $l(x)=x^2+0{,}1x-0{,}2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte berechnen
  Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die y-Werte gleich setzen und alles auf eine Seite bringen.
  $e (x) = l (x)$
  $2x^2-4x+1{,}9=x^2+0{,}1x-0{,}2$ $\left|-x^2\right.$
  $x^2-4x+1{,}9=0{,}1x-0{,}2$ $\left|-0{,}1x\right.$
  $x^2-4{,}1x+1{,}9=-0{,}2$ $\left|+0{,}2\right.$
  $x^2-4{,}1x+2{,}1=0$
  Nun haben wir so aufgelöst, dass auf der einen Seite nur noch die Null steht. Jetzt kann man die Mitternachtsformel anwenden.
  $\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-(-4{,}1)\pm\sqrt{(-4{,}1)^2-4\cdot1\cdot2{,}1}}{2\cdot1}=\frac{4{,}1\pm2{,}9}{2}$
  Somit ergeben sich die zwei $x$ -Koordinaten: $x_1=3{,}5$ und $x_2=0{,}6$
  Diese Werte muss man nun noch in eine der beiden Ausgangsfunktionen einsetzen.
  $x_{1}$ :
  $l(3{,}5)=3{,}5^2+0{,}1\cdot3{,}5-0{,}2=12{,}4$
  $=>\;S_1(3{,}5\vert12{,}4)$
  $x_{2}$ :
  $l(0{,}6)=0{,}6^2+0{,}1\cdot0{,}6-0{,}2=0{,}22$
  $=>\;S_2(0{,}6\vert0{,}22)$
  Somit hat man die beiden Schnittpunkte der Funktionen $S_1(3{,}5\vert12{,}4)$ und $S_2(0{,}6\vert0{,}22)$ .
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3. $r(x)=\frac34x^2+2x-10$ und $s(x)=\frac14x^2+1{,}5x-4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte berechnen
  Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die $y$ -Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc} r\left(x\right)&=& s\left(x\right)&\\\frac34x^2+2x-10&=& \frac14x^2+1{,}5x-4&\vert+4\\ \frac34x^2+2x-6&=&\frac14x^2+1{,}5x&\vert-1{,}5x\\\frac34x^2+0{,}5x-6 &=&\frac14x^2&\vert-\frac14x^2\\ \frac24x^2+0{,}5x-6&=&0\end{array}$
  Nun suchst du die Nullstellen der neuen Funktion $\frac24x^2+0{,}5x-6$ .Da es sich hierbei um eine quadratische Funktion handelt, kann man die Nullstellen durch die Mitternachtsformel berechnen.
  $\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-0{,}5\pm \sqrt{0{,}5^2-4\cdot\frac24\cdot(-6)}}{2\cdot\frac24}=\frac{-0{,}5\pm3{,}5}{1}$
  $\displaystyle\Rightarrow x_1=3; x_2=-4$
  Einsetzen dieser zwei $x$ -Werte in eine der Funktionen liefert die zugehörigen $y$ -Werte und damit die Schnittpunkte A und B:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccl}\mathrm s\left(3\right)&=&2{,}75&\Rightarrow\mathrm A\left(3\,|\,2{,}75\right)\\\mathrm s\left(-4\right)&=&-6&\Rightarrow\mathrm B\left(-4\,|\,-6\right)\end{array}$
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4. $t(x)=\frac{10}{9}x^2-\frac43x-11$ und $u (x) = x^{2} - 2 x - 8$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte berechnen
  Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die $y$ -Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc} t\left(x\right)&=& u\left(x\right)&\\\frac{10}{9}x^2-\frac43x-11&=& x^2-2x-8&\vert+8\\ \frac{10}{9}x^2-\frac43x-3&=&x^2-2x&\vert+2x\\\frac{10}{9}x^2+\frac23x-3 &=&x^2&\vert-x^2\\ \frac{1}{9}x^2+\frac23x-3&=&0\end{array}$
  Nun suchst du die Nullstellen der neuen Funktion $\frac{1}{9}x^2+\frac23x-3$ .Da es sich hierbei um eine quadratische Funktion handelt, kann man die Nullstellen durch die Mitternachtsformel berechnen.
  $\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-\frac23\pm \sqrt{\frac23^2-4\cdot\frac19\cdot(-3)}}{2\cdot\frac19}=\frac{-\frac23\pm\frac43}{\frac29}$
  $\displaystyle\Rightarrow x_1=3; x_2=-9$
  Einsetzen dieser zwei $x$ -Werte in eine der Funktionen liefert die zugehörigen $y$ -Werte und damit die Schnittpunkte A und B:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccl} u\left(3\right)&=&-5&\Rightarrow\mathrm A\left(3\,|\,-5\right)\\ u\left(-9\right)&=&91&\Rightarrow\mathrm B\left(-9\,|\,91\right)\end{array}$
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