Aufgaben zu linearen Funktionen

Berechne den Abstand der Geraden zum Ursprung.

$y=\frac34x-5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung der Senkrechten

Geradensteigung und Geradengleichung

Der kürzeste Abstand zum Ursprung ist die Senkrechte auf die Gerade durch den Ursprung. Ist $g(x):y=m_1\cdot x+b$ , so berechnest du die Steigung der Senkrechten $m_{2}$ mit der Formel.

$\displaystyle m_2=-\frac1{m_1}$

Setz den Wert der Steigung ein.

$\displaystyle m_2=-\frac{1}{\frac34}=-\frac43$

Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $-\displaystyle\frac43$ und geht durch den Ursprung, der y-Achsenabschnitt $b$ ist also 0. Damit lautet die Geradengleichung der Senkrechte $\displaystyle h(x):y=-\frac43 x$ .

Berechne nun den Schnittpunkt $A \,(x_s|y_s)$ der beiden Geraden indem du ihre Geradengleichungen gleichsetzt.

$\displaystyle g\left(x_s\right)$	$=$	$\displaystyle h\left(x_s\right)$
	↓	Setz die Geradengleichungen ein.
$\displaystyle -\frac{4}{3}x_s$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}x_s-5$	$\displaystyle -\frac{3}{4}x_s$
	↓	Bringe die Variable $x_{s}$ auf die linke Seite.
$\displaystyle \displaystyle-\frac{25}{12}x_s$	$=$	$\displaystyle -5$	$\displaystyle \cdot(-1)$
$\displaystyle \displaystyle\frac{25}{12}x_s$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle :\frac{25}{12}$
$\displaystyle x_s$	$=$	$\displaystyle \frac{12}{5}$
	$=$	$\displaystyle 2{,}4$

Setz nun $x_{s}$ in eine der Geradengleichungen ein um $y_{s}$ zu bestimmen.

$\displaystyle h(x_s):y_s=-\frac43x_s$

Setz $x_s=2{,}4$ ein.

$\displaystyle y_s=-\frac43\cdot2{,}4=-3{,}2$

Der Schnittpunkt der Geraden $h$ und $g$ liegt also bei $A\,(2{,}4|-3{,}2)$ .

Bestimme nun den Abstand des Ursprungs zum berechneten Schnittpunkt $A$ , dies ist genau der kürzeste Abstand der Geraden $g$ zum Ursprung.

$\displaystyle d=\sqrt{(x_s-x_0)^2+(y_s-y_0)^2}$

Setz die Werte ein.

$\displaystyle d=\sqrt{(2{,}4-0)^2+(-3{,}2-0)^2}$

Vereinfache.

$\displaystyle =\sqrt{5{,}76+10{,}24}=\sqrt{16}=4$

Der kürzeste Abstand der Geraden $g$ zum Ursprung ist also 4.

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$y=-\frac12x+2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung

Der kürzeste Abstand zum Ursprung ist die Senkrechte auf die Gerade durch den Ursprung. Ist $g (x) : y = m_{1} \cdot x + b g(x):y=m_1⋅x+b$ , so berechnest du die Steigung der Senkrechten $m_{2}$ mit der Formel

$\displaystyle m_2=-\frac1{m_1}$

Setz den Wert der Steigung ein.

$\displaystyle m_2=-\frac{1}{-\frac12}=2$

Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung $2$ und geht durch den Ursprung, der y-Achsenabschnitt $b$ ist also 0. Damit lautet die Geradengleichung der Senkrechte $h (x) : y = 2 x$ .

Berechne nun den Schnittpunkt $A\,(x_s|y_s)$ der beiden Geraden, indem du ihre Geradengleichungen gleichsetzt.

$\displaystyle g\left(x_s\right)$	$=$	$\displaystyle h\left(x_s\right)$
	↓	Setz die Geradengleichungen ein.
$\displaystyle \displaystyle -\frac12x_s+2$	$=$	$\displaystyle 2x_s$	$\displaystyle -2x_s$
	↓	Bringe die Variable $x_{s}$ auf die linke Seite.
$\displaystyle -2{,}5x_s+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
	↓	Bringe die 2 auf die rechte Seite.
$\displaystyle -2{,}5x_s$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle :\left(-2{,}5\right)$
$\displaystyle x_s$	$=$	$\displaystyle 0{,}8$

Setz nun $x_{s}$ in eine der Geradengleichungen ein um $y_{s}$ zu bestimmen.

$h (x_{s}) : y_{s} = 2 x_{s}$

Setz $x_s=0{,}8$ ein.

$y_s=2\cdot0{,}8=1{,}6$

Der Schnittpunkt der Geraden $h$ und $g$ liegt also bei $A\,(0{,}8|1{,}6)$ .

Bestimme nun den Abstand des Ursprungs zum berechneten Schnittpunkt $A$ , dies ist genau der kürzeste Abstand der Geraden $g$ zum Ursprung.

$\displaystyle d=\sqrt{(x_s-x_0)^2+(y_s-y_0)^2}$

Setz die Werte ein.

$d=\sqrt{(0{,}8-0)^2+(1{,}6-0)^2}$

Vereinfache.

$=\sqrt{0{,}64+2{,}56}=\sqrt{3{,}2}\approx 1{,}79$

Der kürzeste Abstand der Geraden $g$ zum Ursprung ist also etwa $1,79$ .

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