Berechne den Abstand der Geraden zum Ursprung.
y=43âxâ5
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung der Senkrechten
Geradensteigung und Geradengleichung
Der kĂŒrzeste Abstand zum Ursprung ist die Senkrechte auf die Gerade durch den Ursprung. Ist g(x):y=m1ââ x+b, so berechnest du die Steigung der Senkrechten m2â mit der Formel.
m2â=âm1â1â
Setz den Wert der Steigung ein.
m2â=â43â1â=â34â
Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung â34â und geht durch den Ursprung, der y-Achsenabschnitt b ist also 0. Damit lautet die Geradengleichung der Senkrechte h(x):y=â34âx.
Berechne nun den Schnittpunkt A(xsââŁysâ) der beiden Geraden indem du ihre Geradengleichungen gleichsetzt.
g(xsâ) = h(xsâ) â Setz die Geradengleichungen ein.
â34âxsâ = 43âxsââ5 â43âxsâ â Bringe die Variable xsâ auf die linke Seite.
â1225âxsâ = â5 â (â1) 1225âxsâ = 5 :1225â xsâ = 512â = 2,4 Setz nun xsâ in eine der Geradengleichungen ein um ysâ zu bestimmen.
h(xsâ):ysâ=â34âxsâ
Setz xsâ=2,4 ein.
ysâ=â34ââ 2,4=â3,2
Der Schnittpunkt der Geraden h und g liegt also bei A(2,4âŁâ3,2).
Bestimme nun den Abstand des Ursprungs zum berechneten Schnittpunkt A, dies ist genau der kĂŒrzeste Abstand der Geraden g zum Ursprung.
d=(xsââx0â)2+(ysâây0â)2â
Setz die Werte ein.
d=(2,4â0)2+(â3,2â0)2â
Vereinfache.
=5,76+10,24â=16â=4
Der kĂŒrzeste Abstand der Geraden g zum Ursprung ist also 4.
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y=â21âx+2
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
Der kĂŒrzeste Abstand zum Ursprung ist die Senkrechte auf die Gerade durch den Ursprung. Ist g(x):y=m1ââ x+b, so berechnest du die Steigung der Senkrechten m2â mit der Formel
m2â=âm1â1â
Setz den Wert der Steigung ein.
m2â=ââ21â1â=2
Die gesuchte Senkrechte hat also Steigung 2 und geht durch den Ursprung, der y-Achsenabschnitt b ist also 0. Damit lautet die Geradengleichung der Senkrechte h(x):y=2x.
Berechne nun den Schnittpunkt A(xsââŁysâ) der beiden Geraden, indem du ihre Geradengleichungen gleichsetzt.
g(xsâ) = h(xsâ) â Setz die Geradengleichungen ein.
â21âxsâ+2 = 2xsâ â2xsâ â Bringe die Variable xsâ auf die linke Seite.
â2,5xsâ+2 = 0 â2 â Bringe die 2 auf die rechte Seite.
â2,5xsâ = â2 :(â2,5) xsâ = 0,8 Setz nun xsâ in eine der Geradengleichungen ein um ysâ zu bestimmen.
h(xsâ):ysâ=2xsâ
Setz xsâ=0,8 ein.
ysâ=2â 0,8=1,6
Der Schnittpunkt der Geraden h und g liegt also bei A(0,8âŁ1,6).
Bestimme nun den Abstand des Ursprungs zum berechneten Schnittpunkt A, dies ist genau der kĂŒrzeste Abstand der Geraden g zum Ursprung.
d=(xsââx0â)2+(ysâây0â)2â
Setz die Werte ein.
d=(0,8â0)2+(1,6â0)2â
Vereinfache.
=0,64+2,56â=3,2ââ1,79
Der kĂŒrzeste Abstand der Geraden g zum Ursprung ist also etwa 1,79.
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