Aufgaben zum Skalarprodukt - lernen mit Serlo!

Bestimme jeweils das Skalarprodukt der folgenden Vektoren:

$v_1 = \begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix} \\$ und $\ v_2 = \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch
$\displaystyle \,\vec a\circ\vec b = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2.$
Hier also:
$\displaystyle \,\vec v_1\circ \vec v_2 = \begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix} = (-2) \cdot 5 + 7 \cdot 3 = -10 + 21 = 11.$
Das heißt: Das Skalarprodukt von $\vec v_1$ und $\vec v_2$ ist $11$ .
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$w_1=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} \\$ und $\ w_2=\begin{pmatrix}-9\\3\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch
$\displaystyle \,\vec a\circ\vec b = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2.$
Hier also:
$\displaystyle \,\vec w_1\circ\vec w_2 = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-9\\3\end{pmatrix} = 1 \cdot (-9) + 3 \cdot 3 = -9 + 9 = 0$
Hier stehen die Vektoren senkrecht aufeinander, da das Skalarprodukt $0$ ist.
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$c_1 = \begin{pmatrix}-8\\1\end{pmatrix} \\$ und $\ c_2=\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch
$\displaystyle \,\vec a\odot\vec b = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2.$
Hier also:
$\displaystyle \,\vec c_1\odot\vec c_2 = \begin{pmatrix}-8\\1\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix} = (-8) \cdot 0 + 1 \cdot 6 = 6$
Das Skalarprodukt von $\vec c_1$ und $\vec c_2$ ist $6$ .
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$d_1 = \begin{pmatrix}0\\107\end{pmatrix} \\$ und $\ d_2=\begin{pmatrix}-342\\0\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch
$\displaystyle \,\vec a\odot\vec b = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2.$
Hier also:
$\displaystyle \,\vec d_1\odot\vec d_2 = \begin{pmatrix}0\\107\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}-342\\0\end{pmatrix} = 0 \cdot (-342) + 107 \cdot 0 = 0.$
Das Skalarprodukt von $\vec d_1$ und $\vec d_2$ ist $0$ . Die Vektoren stehen somit senkrecht aufeinander.
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$\vec{u} =\begin{pmatrix} 0{,}5\\-1 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} 4\\2 \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Benutze die Formel zur Berechnung des Skalarprodukts:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \vec{u}\circ \vec{v} &=& \begin{pmatrix} 0{,}5\\-1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 4\\2\end{pmatrix}\\&=& 0{,}5\cdot 4 + (-1)\cdot 2 \\&=& 2-2 \\&=& 0 \end{array}$
Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist $0$ . (Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.)
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$\vec{u} =\begin{pmatrix} 7\\11 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} 0\\1/2 \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Benutze die Formel zur Berechnung des Skalarprodukts.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \vec{u} \circ \vec{v} &=& \begin{pmatrix}7\\11 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} 0\\1/2\end{pmatrix}\\&=& 7\cdot 0 + 11\cdot 1/2 \\&=& 11/2 \\&=& 5{,}5\end{array}$
Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist $5,5$ .
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$\vec{u} =\begin{pmatrix} 0\\-3\pi \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} \sqrt{2}\\0 \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Tipp: Wenn du ganz genau hinschaust, musst du eigentlich nicht rechnen. An welcher Stelle kommt eine Null bei $\vec{u}$ vor? Und an welcher Stelle bei $\vec{v}$ ?
Skalarprodukt berechnen
Das Skalarprodukt zweier Vektoren kannst du anhand der Formel berechnen, wie du hier siehst. Oder du verwendest den Tipp und siehst die Antwort sofort.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \vec{u}\circ \vec{v} &=& \begin{pmatrix} 0\\-3\pi\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} \sqrt 2\\0\end{pmatrix}\\&=& 0\cdot \sqrt 2 + (-3\pi)\cdot 0 \\&=& 0-0 \\&=& 0 \end{array}$
Das Skalarprodukt von $\vec u$ und $\vec v$ ist $0$ . (Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.)
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$\vec a = \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ 45^\circ \end{pmatrix}$ und $\vec b = \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 120^\circ \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Tipp: Hier hast du es mit Polarkoordinaten zu tun.
Skalarprodukt berechnen
In dieser Aufgabe kannst du nicht sofort das Skalarprodukt berechnen, da du es mit Polarkoordinaten zu tuen hast, wie der Tipp bereits erwähnt. Deshalb musst du zuerst die Polarkoordinaten in kartesiche Koordinaten umrechnen und anschließend das Skalarprodukt berechnen.
Umrechnung in kartesische Koordinaten
Allgemein gilt für die Umrechnung eines Vektors in Polarkoordinaten $(r,\varphi)$ :
$x=r\cdot\cos\varphi$ und $y=r\cdot\sin\varphi$
Setze in diese Formel ein.
$\vec a$ : $a_1=2\sqrt{2}\cdot\cos45^{\circ}=2\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}=2$
und $a_2=2\sqrt2\cdot\sin45^\circ=2\sqrt2\cdot\dfrac{1}{\sqrt2}=2$
$\vec b$ : $b_1=\sqrt3\cdot\cos120^\circ=\sqrt3\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ und
$b_2=\sqrt 3\cdot\sin120^\circ=\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{3}{2}$
Damit erhältst du die folgenden Vektoren in kartesischer Form.
$\vec a=\begin{pmatrix} 2 \\2 \end{pmatrix}$ und $\vec b=\begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt3}{2} \\[2ex]\dfrac{3}{2} \end{pmatrix}$
Skalarprodukt berechnen:
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch
$\,\vec a\circ\vec b = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$ .
Hier also:
$\,\vec a\circ\vec b = \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-\dfrac{\sqrt3}{2}\\[2ex]\dfrac{3}{2}\end{pmatrix} = 2 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)+ 2 \cdot \dfrac 3 2 = -\sqrt3 + 3 = 3-\sqrt3\approx1{,}27$
Das Skalarprodukt von $\vec a$ und $\vec b$ ist somit $3-\sqrt3$ .
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