Aufgaben zum Thema Relationen

• Reflexiv, aber nicht symmetrisch

• Weder symmetrisch noch antisymmetrisch

• Antisymmetrisch, aber nicht asymmetrisch

• Konnex, aber nicht transitiv

Dagegen ist $R_4$ konnex, da alle $\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=3$ Paarungsmöglichkeiten zwischen zwei verschiedenen Elementen von $A$ in $R_4$ liegen.

• Symmetrisch und konnex

Wenn z.B. in einem Feld ein Pfeil von $x$ nach $y$ ist, dann bedeutet das, dass $xRy$ gilt; Pfeile entsprechen also Tupeln. Insgesamt muss man für jedes Feld der Tabelle jede Eigenschaft testen. (im Grunde könnte man die zwei mittleren Zeilen bzw. Spalten der Tabelle zu jeweils einer zusammenfassen, da hier die Eigenschaften jeweils identisch sind)Hier sind die Ergebnisse:

mit den Abkürzungen

• R = reflexiv

• S = symmetrisch

• A = asymetrisch

• I = antisymmetrisch

• T = transitiv

• K = konnex

Zuerst lösen wir die Implikation $xRy\Rightarrow\neg yRx$ auf:Anschließend können wir die Regel von de Morgan anwenden:Nun betrachten wir den Fall, wenn diese Formel erfüllt, also $true$ ist. Dementsprechend gilt:Da eine Implikation immer $true$ ist, wenn ihr linker Teil (eben genau $xRy\wedge yRx$) $false$ ergibt. Wie gezeigt gilt dies, wenn $xRy\Rightarrow \neg yRx$ gilt.