Aufgaben zum Thema Lineare Gleichungssysteme

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Das Lösen eines LGS nach dieser Methode benötigt bei $n$ Unbekannten etwa $n^{3} / 3$ Operationen (Additionen und Multiplikationen). Angenommen, unser Rechner schafft $100$ Millionen Operationen pro Sekunde - wie lange braucht er dann für ein LGS mit $10$ , mit $1000$ , mit $100\ 000$ Unbekannten?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungssysteme
Also: Unser Verfahren benötigt
für $n$ Unbekannte und wir haben einen Rechner, der
schafft. Also kann die Dauer angegeben werden als:
Nun setzen wir die angegebenen $n$ ein:
Während also ein Gleichungssystem mit $10$ Unbekannten im Bruchteil einer Sekunde gelöst werden kann, dauert es für $100000$ Variablen länger als einen Monat.
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Für welche Werte von $a$ ist folgendes LGS lösbar? Was sind dann die Lösungen?
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccc}&x_1&+&2x_2+&x_3&=&2\\\ &x_1&+&4x_2+&3x_3&=&4\\\ &-2x_1&-&3x_2-&x_3&=&a\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem
Das LGS lässt sich als Matrix aufschreiben und mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus vereinfachen.
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\1 & 4 & 3 \\-2 & -3 & -1 \end{array}\left|\begin{array}{r}2 \\ 4 \\ a\end{array}\right.\right)$
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\0 & 2 & 2 \\0 & 1 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{r}2 \\ 2 \\ a + 4\end{array}\right.\right)$
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{array}\left|\begin{array}{r}2 \\ a + 4 \\ 2 - 2(a + 4)\end{array}\right.\right)$
Da die letzte Zeile keine Koeffizienten mehr enthält, gilt $0 = 2 - 2 (a + 4)$ bzw. $a = - 3$ . Das Gleichungssystem ist also unterdefefiniert und wir können $x_{3}$ beliebig wählen, z. B. $x_{3} = z$ . Wir fügen diese Gleichung noch als eine neue Zeile ein und setzen $a = - 3$ .
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{r}2 \\ -3 + 4 \\ z\end{array}\right.\right)$
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{r}z \\ 1 - z \\ z\end{array}\right.\right)$
Das heißt, es gilt $a = - 3$ sowie $x_{1} = z$ , $x_{2} = 1 - z$ und $x_{3} = z$ mit $z \in \mathbb{R}$ .

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccc}\mathrm{(I)}&-x_1&+&2x_2&=&2\\\ \mathrm{(II)} \ &2x_1&-&x_2&=&2\end{array}$

Löse das System zunächst graphisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
Löse Gleichung $\mathrm{(I)}$ nach $x_{2}$ auf:
$x_2=\dfrac{1}{2}\cdot x_1+1$
Die Gerade hat die Steigung $m=\frac{1}{2}$ und den $x_{2}$ -Achsenabschnitt $1$ .
Zeichne die Gerade ein.
In der Abbildung ist es die $\textcolor{660099}{\text{violette}}$ Gerade.
Löse Gleichung $\mathrm{(II)}$ nach $x_{2}$ auf:
$x_2=2\cdot x_1-2$
Die Gerade hat die Steigung $m = 2$ und den $x_{2}$ -Achsenabschnitt $- 2$ .
Zeichne die Gerade ein.
In der Abbildung ist es die $\textcolor{cc0000}{\text{rote}}$ Gerade.
Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt $S (2 ∣ 2)$ .
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Bestimme die Lösung des linearen Gleichungssystems mit einem Verfahren deiner Wahl.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme

Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren

Bei der Lösung zu $1$ hast du die beiden Gleichungen $x_2=\dfrac{1}{2}\cdot x_1+1$ und $x_2=2\cdot x_1-2$ erhalten. Die rechten Seiten können einander gleichgesetzt werden.

$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot x_1+1$	$=$	$\displaystyle 2\cdot x_1-2$	$\displaystyle +2$
	↓	Löse nach $x_{1}$ auf.
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot x_1+3$	$=$	$\displaystyle 2\cdot x_1$	$\displaystyle -\frac{1}{2}\cdot x_1$
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}\cdot x_1$	$\displaystyle \cdot\frac{2}{3}$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle x_1$

Setze $x_{1} = 2$ in eine der beiden Gleichungen ein und berechne $x_{2}$ .

$x_2=\dfrac{1}{2}\cdot x_1+1 \;\Rightarrow\;x_2=\dfrac{1}{2}\cdot 2+1 =2$

Ergebnis: Das Gleichungssystem hat die Lösung $\mathbb{L}=\{(2|2)\}$ .

Lösung mit dem Einsetzungsverfahren

Bei der Lösung zu $1$ hast du die Gleichung $x_2=\dfrac{1}{2}\cdot x_1+1$ erhalten. Setze $x_{2}$ in Gleichung $\mathrm{(II)}$ ein:

$\displaystyle 2\cdot x_1-x_2$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Setze $x_2=\dfrac{1}{2}\cdot x_1+1$ ein.
$\displaystyle 2\cdot x_1-(\frac{1}{2}\cdot x_1+1)$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle 2\cdot x_1-\frac{1}{2}\cdot x_1-1$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle +1$
	↓	Löse nach $x_{1}$ auf.
$\displaystyle \frac{3}{2}\cdot x_1$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \cdot\frac{2}{3}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 2$

Setze $x_{1} = 2$ in eine der beiden Gleichungen ein und berechne $x_{2}$ .

$x_2=\dfrac{1}{2}\cdot x_1+1 \;\Rightarrow\;x_2=\dfrac{1}{2}\cdot 2+1 =2$

Ergebnis: Das Gleichungssystem hat die Lösung $\mathbb{L}=\{(2|2)\}$ .

Lösung mit dem Additionsverfahren

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccc}\mathrm{(I)}&-x_1&+&2x_2&=&2\\\ \mathrm{(II)} \ &2x_1&-&x_2&=&2\end{array}$

Beseitige z.B. die Variable $x_{1}$ , indem du rechnest: $2 \cdot \mathrm{(I)} +\mathrm{(II)}$

$\Rightarrow\;4x_2-x_2=4+2\;\Rightarrow\;3x_2=6\;\Rightarrow\;x_2=2$

Setze den berechneten Wert $x_{2} = 2$ z.B. in Gleichung $\mathrm{(II)}$ ein:

$\Rightarrow\;2x_1-2=2\;\Rightarrow\;2x_1=4\;\Rightarrow\;x_1=2$

Ergebnis: Das Gleichungssystem hat die Lösung $\mathbb{L}=\{(2|2)\}$ .

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Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren

Bei der Lösung zu 111 hast du die beiden Gleichungen x2=12⋅x1+1x_2=\dfrac{1}{2}\cdot x_1+1 x2​=21​⋅x1​+1 und x2=2⋅x1−2x_2=2\cdot x_1-2 x2​=2⋅x1​−2 erhalten. Die rechten Seiten können einander gleichgesetzt werden.

Lösung mit dem Einsetzungsverfahren

Bei der Lösung zu 111 hast du die Gleichung x2=12⋅x1+1x_2=\dfrac{1}{2}\cdot x_1+1 x2​=21​⋅x1​+1 erhalten. Setze x2x_2x2​ in Gleichung (II)\mathrm{(II)}(II) ein:

Lösung mit dem Additionsverfahren

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Bei der Lösung zu $1$ hast du die beiden Gleichungen $x_2=\dfrac{1}{2}\cdot x_1+1$ und $x_2=2\cdot x_1-2$ erhalten. Die rechten Seiten können einander gleichgesetzt werden.

Bei der Lösung zu $1$ hast du die Gleichung $x_2=\dfrac{1}{2}\cdot x_1+1$ erhalten. Setze $x_{2}$ in Gleichung $\mathrm{(II)}$ ein: