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Rechnung mit Vektoren (Vektoren in der Ebene II)

9Skalarmultiplikation

Man kann Vektoren nicht nur addieren und subtrahieren, sondern auch strecken oder stauchen, d.h. "länger oder kürzer machen". Dies versteht man unter einer Skalarmultiplikation, also der Multiplikation von einem Vektor und einer beliebigen reellen Zahl.

Mathematisch schreibt man das folgendermaßen:

w⃗=k⋅v⃗\vec w = k \cdot \vec v , wobei  k∈R \ k \in \mathbb{R}\,.

Die Richtung des Vektors verändert sich bis auf das Vorzeichen dabei nicht.

Beispiel

Du hast den Vektor v⃗=(2−3)\vec v = \begin{pmatrix}2\\-3 \end{pmatrix} gegeben und möchtest ihn um 77 strecken, also:

w⃗=k⋅v⃗=7⋅(2−3)=(7⋅27⋅(−3))=(14−21)\vec w = k \cdot \vec v = 7 \cdot \begin{pmatrix}2\\-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \cdot 2\\ 7 \cdot (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ -21 \end{pmatrix}

Der gestreckte Vektor ist nun also w⃗=(w1w2)=(14−21)\vec w = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14\\-21\end{pmatrix}.

 \,

Nun kann man andersrum aber auch nachrechnen, ob ein Vektor w⃗\vec w aus v⃗\vec v hervorgeht. D.h., wenn man den Vektor v⃗=(v1v2)\vec v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} gegeben hat und der Vektor w⃗=(w1w2)\vec w = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix} aus der Multiplikation von kk mit vv hervorgeht. Dazu untersucht man, ob der Vektor w⃗\vec w aus der Multiplikation von kk und v⃗=(v1v2)\vec v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2\end{pmatrix} hervorgeht:

(k⋅v1k⋅v2)=(w1w2)\begin{pmatrix}k \cdot v_1 \\ k \cdot v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}

⟺\Longleftrightarrow

k⋅v1=w1k \cdot v_1 = w_1

k⋅v2=w2k \cdot v_2 = w_2

Dann muss man für sowohl für die xx- als auch für die yy-Komponente den Wert für kk nachrechnen:

Wenn man für beide Gleichungen denselben Wert für kk bekommt, so geht w⃗\vec w aus v⃗\vec v hervor.

Falls man jedoch unterschiedliche Werte ausrechnet, so geht keiner der beiden Vektoren aus dem anderen hervor.

Beispiel

Prüfe nach, ob sich der Vektor w⃗=(−1216)\vec w = \begin{pmatrix}-12\\16\end{pmatrix} durch Streckung des Vektors v⃗=(3−4)\vec v = \begin{pmatrix} 3\\-4\end{pmatrix} darstellen lässt.

Du musst also untersuchen, ob sich w⃗\vec w als k⋅v⃗ k \cdot \vec v\, schreiben lässt.

w⃗=k⋅v⃗  \vec w = k \cdot \vec v\,\, ⟺\Longleftrightarrow (−1216)=k⋅(3−4)\begin{pmatrix}-12\\16\end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}

Du musst nun also den Wert von kk sowohl für die xx-als auch für die yy-Koordinate bestimmen

Für die xx-Komponente gilt:

−12=3k  ⟺k=−4-12 = 3k\,\,\Longleftrightarrow k = -4

Für die yy-Komponente gilt:

16=−4k  ⟺k=−416 = -4k\,\,\Longleftrightarrow k = -4

 \,

Für beide Komponenten bekommst du also das gleiche Ergebnis heraus.

Damit lässt sich der Vektor w⃗\vec w durch Streckung von v⃗\vec v mit dem Faktor −4-4 erzeugen!

Unten kannst du in dem Applet sehen, wie sich die Darstellung von Vektoren im Koordinatensystem ändert, wenn man die Vektoren streckt oder staucht.

Bewege den blauen Punkt an der Spitze des Vektors v⃗\vec{v}, um verschiedene Vektoren v⃗\vec{v} zu betrachten. Verschiebe den roten Punkt k auf dem Schieberegler, um den Vektor v⃗\vec{v} um den Faktor k zu strecken oder zu stauchen. Der rote Vektor w⃗\vec{w} stellt dann den gestreckten bzw. gestauchten Vektor w⃗=k⋅v⃗\vec{w}=k\cdot\vec{v} dar.


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