9Skalarmultiplikation
Man kann Vektoren nicht nur addieren und subtrahieren, sondern auch strecken oder stauchen, d.h. "länger oder kürzer machen". Dies versteht man unter einer Skalarmultiplikation, also der Multiplikation von einem Vektor und einer beliebigen reellen Zahl.
Mathematisch schreibt man das folgendermaßen:
, wobei .
Die Richtung des Vektors verändert sich bis auf das Vorzeichen dabei nicht.
Beispiel
Du hast den Vektor gegeben und möchtest ihn um strecken, also:
Der gestreckte Vektor ist nun also .
Nun kann man andersrum aber auch nachrechnen, ob ein Vektor aus hervorgeht. D.h., wenn man den Vektor gegeben hat und der Vektor aus der Multiplikation von mit hervorgeht. Dazu untersucht man, ob der Vektor aus der Multiplikation von und hervorgeht:
Dann muss man für sowohl für die - als auch für die -Komponente den Wert für nachrechnen:
Wenn man für beide Gleichungen denselben Wert für bekommt, so geht aus hervor.
Falls man jedoch unterschiedliche Werte ausrechnet, so geht keiner der beiden Vektoren aus dem anderen hervor.
Beispiel
Prüfe nach, ob sich der Vektor durch Streckung des Vektors darstellen lässt.
Du musst also untersuchen, ob sich als schreiben lässt.
Du musst nun also den Wert von sowohl für die -als auch für die -Koordinate bestimmen
Für die -Komponente gilt:
Für die -Komponente gilt:
Für beide Komponenten bekommst du also das gleiche Ergebnis heraus.
Damit lässt sich der Vektor durch Streckung von mit dem Faktor erzeugen!
Unten kannst du in dem Applet sehen, wie sich die Darstellung von Vektoren im Koordinatensystem ändert, wenn man die Vektoren streckt oder staucht.
Bewege den blauen Punkt an der Spitze des Vektors , um verschiedene Vektoren zu betrachten. Verschiebe den roten Punkt k auf dem Schieberegler, um den Vektor um den Faktor k zu strecken oder zu stauchen. Der rote Vektor stellt dann den gestreckten bzw. gestauchten Vektor dar.