Gemischte Aufgaben zu Abbildungen in der Ebene

Du fängst mit der Raute $A_1B_1C_1D_1$ an. Gegeben sind $x$=$-0{,}5$ und die Gleichungen $y=2x+3$ für den Punkt $A_1$ und $y=x$ für die Punkte $C_1$ und $D_1$

Erst berechnest du die $y$-Koordinate von $A_1$.

$y_{A_1}=2\cdot -0{,}5 + 3=2$

Du trägst den Punkt $A_1(-0{,}5|2)$ ein. Dann berechnest du die Koordinaten von $D_1$.

$x_{D_1}=x_{A_1}+4=-0{,}5+4=3{,}5$

$y_{D_1}=3{,}5$

Du trägst den Punkt $D_1(3{,}5|3{,}5)$ ein. Dann spiegelst du $A_1$ an $h$, um $C_1$ einzutragen.

Als nächstes zeichnest du die Strecke $[A_1C_1]$ und spiegelst $D_1$ an dieser, um $B_1$ einzutragen.

Die Koordinaten von $C_1$ und $B_1$ musst du nicht berechnen.

Für die Raute $A_2B_2C_2D_2$: Gegeben sind $x=2{,}5$ und die Gleichungen $y=2x+3$ für den Punkt $A_2$ und $y=x$ für die Punkte $C_2$ und $D_2$.

Du gehst für die zweite Raute genauso vor, wie für die erste.

Erst berechnest du die $y$-Koordinate von $A_2$.

$y_{A_2}=2\cdot 2{,}5 + 3=8$

Du trägst den Punkt $A_2(2{,}5|8)$ ein. Dann berechnest du die Koordinaten von $D_2$.

$x_{D_2}=x_{A_2}+4=2{,}5+4=6{,}5$

$y_{D_2}=6{,}5$

Dann spiegelst du wieder $A_2$ an $h$, um $C_2$ einzutragen und $D_2$ an $[A_2C_2]$, um $B_2$ einzutragen.

Die untere Intervallgrenze ist die Stelle, an der sich die Geraden $g: y=2x+3$ und $h: y=x$ schneiden.

Du berechnest also den Schnittpunkt der beiden Geraden

$2x+3=x$

und löst nach $x$ auf.

$\Leftrightarrow x=-3$

$\overrightarrow{A_nD_n}=\begin{pmatrix}x+4-x \\x+4-(2x+3)\end{pmatrix}$

Wenn dieser orthogonal zur Geraden $h$ ist, ist das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden $h$ und der Strecke $[A_nD_n]$ gleich null.

Gegeben: $A_n(x|2x+3)$

Spiegelachse: $y=x$

Du hast in Teilaufgabe 1 die Punkte $C_1$ und $C_2$ konstruiert, indem du die Punkte $A_1$ und $A_2$ an der Diagonalen $B_nD_n$ gespiegelt hast. Dies kannst du für alle Punkte $C_n$ machen.

Zunächst berechnest du den Winkel, den die Spiegelachse mit der x-Achse einschließt.

$\alpha=tan^{-1}(m)=tan^{-1}(1)=45^\circ$

Das kannst du in die Formel für die Achsenspiegelung an einer Ursprungsgeraden einsetzen.

Gegeben: $A_n(x|2x+3)$, $C_n(2x+3|x)$, $D_n(x+4|x+4)$

Du bildest zuerst den Vektor $\overrightarrow{D_nA_n}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcr} \overrightarrow{D_nA_n}= &\begin{pmatrix} x-(x+4) \\ 2x+3-(x+4)\end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} -4 \\ x-1 \end{pmatrix}\end{array}$

Dann bildest du den Vektor $\overrightarrow{D_nC_n}$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcr} \overrightarrow{D_nC_n}= &\begin{pmatrix} 2x+3-(x+4) \\ x-(x+4)\end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} x-1 \\ -4 \end{pmatrix}\end{array}$

Mit der Determinante rechnest du jetzt den Flächeninhalt $A$ aus. Das kannst du machen, da die Raute aus zwei gleich großen Dreiecken besteht.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcr} A(x) = \begin{pmatrix} -4 & x-1 \\ x-1 & -4 \end{pmatrix}\end{array}\\\\=16-(x-1)(x-1)\\\\=-x^2+2x+15$

Gegeben: $D_n(x+4|x+4)$, $C_n(2x+3|x)$

Wenn die Strecke $[C_3D_3]$ orthogonal zur $x$-Achse ist, sind die Abszissen der Punkte $C_3$ und $D_3$ gleich.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcr} & \,\, x_{D_3}=x_{C_3}\\& \,\, x+4=2x+3 \\\Leftrightarrow & \,\, x=1\end{array}$

Das Ergebnis setzt du in die Koordinaten von $D_n(x+4|x+4)$ ein.

$D_3(1+4|1+4)=(5|5)$

$a=\overline{A_4C_4}=\overline{C_4D_4}=\overline{D_4A_4}$

Die Höhe $b$ eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge $a$ kannst du der Formelsammlung entnehmen (oder diesem Artikel)

$b=\frac{\sqrt3}{2}a$

Die Strecke $[B_4D_4]$ ist doppelt so lang wie die Höhe $b$ des Dreiecks. Es gilt demnach:

$\overline{B_4D_4}=2 \cdot b=2 \cdot \frac{\sqrt3}{2} \cdot a=\sqrt3 \cdot a$

Jetzt verbindest du noch deine Argumente, um die gleiche Formel wiederzugeben, die in der Aufgabe verlangt ist.

Gegeben sind: $A(0|0)$, $Z_1(x_1|0{,}5x_1+6{,}5)$, $\overline{AZ_1} : \overline {Z_1C_1}=3:2$, $\sphericalangle D_1AB_1=90^\circ$ und $x_1=-2$

Du zeichnest zuerst den Punkt $A$ in ein Koordinatensystem ein.

Dann berechnest du die Koordinaten von $C_1$.

$C_1(-2|-2\cdot0{,}5+6{,}5)=(-2|5{,}5)$

Du trägst den Punkt $C_1$ in ein Koordinatensystem ein.

Dann berechnest die Koordinaten von $Z_1$. Dafür multiplizierst du die Koordinaten von $C_1$ mit $\frac{3}{5}$. Das kannst du aus dem Verhältnis $3:2$ rauslesen.

$Z_1=(-2\cdot \frac{3}{5}|5{,}5 \cdot \frac{3}{5})=(-1{,}2|3{,}3)$

Diesen Punkt trägst du wieder ein.

Dann konstruierst du eine Senkrechte zu $[AC_1]$, die durch den Punkt $Z_1$ geht. Auf dieser werden später $B_1$ und $D_1$ sein.

Gegeben sind: $A(0|0)$, $Z_2(x_2|0{,}5x_2+6{,}5)$, $\overline{AZ_2} : \overline {Z_2C_2}=3:2$, $\sphericalangle D_2AB_2=90^\circ$ und $x_2=1$

Du zeichnest zuerst den Punkt $A$ in ein Koordinatensystem ein.

Dann berechnest du die Koordinaten von $C_2$.

$C_2(1|1\cdot0{,}5+6{,}5)=(1|7)$

Du trägst den Punkt $C_2$ in ein Koordinatensystem ein.

Dann berechnest die Koordinaten von $Z_2$. Dafür multiplizierst du die Koordinaten von $C_2$ mit $\frac{3}{5}$. Das kannst du aus dem Verhältnis $3:2$ rauslesen.

$Z_2=(-2\cdot \frac{3}{5}|5{,}5 \cdot \frac{3}{5})=(-1{,}2|3{,}3)$

Diesen Punkt trägst du wieder ein.

Dann konstruierst du eine Senkrechte zu $[AC_2]$, die durch den Punkt $Z_2$ geht. Auf dieser werden später $B_2$ und $D_2$ sein.

Gegeben sind die Koordinaten der Punkte $C_n(x|0{,}5x+6{,}5)$. Es gilt $\overline {0Z_n} : \overline {Z_n|C_n}=3:2$

Wenn zum Beispiel $C_n$ $5$ Längeneinheiten vom Ursprung entfernt ist, dann ist $Z_n$ $3$ Längeneinheiten vom Ursprung entfernt. Daraus folgt, dass $Z_N$ immer auf $\frac{3}{5}$ des Weges vom Ursprung zu $C_n$ liegt. Man multipliziert also die $x$- und $y$-Koordinaten von $Z_n$ mit $\frac{3}{5}$

$\Rightarrow Z_n(0{,}6x|0{,}6\cdot(0{,}5x+6{,}5)=(0{,}6x|0{,}3x+3{,}9)$

Gegeben: $Z_n(0{,}6x|0{,}3+3{,}9)$

$B_n$ liegt auf einer Senkrechten zu $[AZ_n]$, die durch $Z_n$ führt.

Aus diesen Informationen kannst du entnehmen, dass $B_n$, $Z_n$ und $O$ ein rechtwinkliges Dreieck $\triangle B_nZ_nA$ bilden. Durch den rechten Winkel $\sphericalangle D_nAB_n$ gibt es einen Thaleskreis mit Mittelpunkt $Z_n$, der durch $D_n$, $A$ und $B_n$ geht. Es gilt also $\overline{Z_nA}=\overline{Z_nB_n}$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcr} & \overline{AZ_n}^2+\overline{Z_nB_n}^2=\overline {AB_n}^2 \\ \Leftrightarrow & 2\overline{AZ_n}^2= \overline{AB_n}^2 \\ \Leftrightarrow & \sqrt{2}\cdot\overline{AZ_n}=\overline{AB_n}\end{array}$

Gegeben sind $Z_N(0{,}6x|0{,}3x+3{,}9)$ und $A(0|0)$.

Wenn $A$ um $90^\circ$ um $Z_n$ gedreht wird, entsteht $B_n$. Wir drehen $A$ also um einen beliebigen Punkt.

$\overrightarrow{OB_n}=\begin{pmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha)\\ sin(\alpha) & \,\,\,\,\,\,cos(\alpha)\end{pmatrix}\cdot \overrightarrow{Z_nA} + \overrightarrow{OZ_n}$

$=\begin{pmatrix} cos(90^\circ) & -sin(90^\circ)\\ sin(90^\circ) & \,\,\,\,\,\,cos(90^\circ)\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -0{,}6x \\ -0{,}3x - 3{,}9\end{pmatrix}+\overrightarrow{OZ_n}$

$=\begin{pmatrix} 0\cdot -0{,}6x + -1\cdot (-0{,}3x + -3{,}9)\\ 1\cdot -0{,}6x + 0\cdot (0{,}3x + 3{,}9)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0{,}6x \\ 0{,}5x + 6{,}5\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}0{,}3x + 3{,}9\\ -0{,}6x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0{,}6x \\ 0{,}3x + 3{,}9\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 0{,}9x +3{,}9 \\ -0{,}3x+3{,}9\end{pmatrix}$

Um den Trägergraphen zu ermitteln, übernimmst du aus den Ortsvektoren $\overrightarrow{OB_n}$ folgende Informationen über die Koordinaten von $B_n$:

$x_{B_n} =0{,}9x+3{,}9$

$\Leftrightarrow \frac{10}{9}x_{B_n}-\frac{13}{3}=x$

$y_{B_n}=-0{,}3x+3{,}9$

Jetzt musst du nur noch $x$ in die untere Gleichung einsetzen und du hast den Trägergraphen ermittelt.

$y_{B_n}=-0{,}3\cdot(\frac{10}{9}x-\frac{13}{3})+3{,}9$

$y_{B_n}=-\frac{1}{3}x_{B_n}+5{,}2$

Gegeben: $g:y=0{,}5x+6{,}5$ und $\overrightarrow{AC_N}=\begin{pmatrix} x \\ 0{,}5x+6{,}5 \end{pmatrix}$

Der Richtungsvektor der Geraden $g$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{AC_n}$ sein:

$\overrightarrow g\circ\overrightarrow{AC_N}=0$

$\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} x \\ 0{,}5x+6{,}5\end{pmatrix}=0$

$\Leftrightarrow x+0{,}25x+3{,}25=0$

$\Leftrightarrow1{,}25x+3{,}25=0$

$\Leftrightarrow x=-2{,}6$

Gegeben sind $\overrightarrow {AB_n}=\begin{pmatrix} 0{,}9x+3{,}9\\-0{,}3x+3{,}9 \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow {AC_n}=\begin{pmatrix} x\\0{,}5x+6{,}5 \end{pmatrix}$.

Das Drachenviereck besteht aus zwei gleichgroßen Dreiecken, dessen Flächeninhalt du mit der Determinante ausrechnen kannst.

Du kennst jetzt den Flächeninhalt in Abhängigkeit von $x$. Mit der quadratischen Ergänzung kannst du die Scheitelpunktform der Parabel ausrechnen und damit den Scheitelpunkt bestimmen.

Aus der Scheitelpunktform liest du heraus, dass der Scheitelpunkt bei $S(-2{,}6|27{,}04)$ liegt. Als letztes berechnest du die $x$-Koordinate von $B_0$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcr} x_{B_n}&=0{,}9x+3{,}9 \\ &= 0{,}9\cdot-2{,}6+3{,}9\\&=1{,}56\end{array}$

Gegeben sind:

$Z_4 \in p:y=−\frac{1}{16}x^2+\frac{1}{2}x+4{,}5$

$Z_n(0{,}6x|0{,}3x+3{,}9)$

Du kennst die Koordinaten aller Punkte $Z_n$ in allgemeiner Form. Außerdem weißt du, dass der Punkt $Z_4$ im Speziellen auf $p$ liegt, d. h. seine Koordinaten müssen die Parabelgleichung erfüllen. Du setzt also die Koordinaten von $Z_n$ in die Gleichung von $p$ ein und berechnest so den entsprechenden Wert für $x$.

$Z_4(\frac{2\sqrt{15}}{3}|0{,}3\cdot\frac{4\sqrt{15}}{3}+3{,}9=\frac{39+4\sqrt{15}}{10})$

$C_4(\frac{4\sqrt{15}}{3}|0{,}5\cdot\frac{4\sqrt{15}}{3}+6{,}5=\frac{39+4\sqrt{15}}{6})$

Als letztes berechnest du den Winkel $\sphericalangle D_4C_4B_4$ mit den Vektoren $\overrightarrow{C_4B_4}$ und $\overrightarrow{C_4A}$. Diesen musst du dann mit $2$ multiplizieren.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcr} \overrightarrow{C_4B_4}&=\begin{pmatrix} \frac{2\sqrt{15}}{3} -(0{,}9\cdot\frac{4\sqrt{15}}{3} +3{,}9) \\ \frac{4\sqrt{15}}{3}-(-0{,}3\cdot\frac{4\sqrt{15}}{3}+3{,}9) \end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix} -\frac{117+16\sqrt{15}}{30} \\ \frac{-117+52\sqrt{15}}{30} \end{pmatrix}\end{array}$

$\overrightarrow{C_4A}=\begin{pmatrix} -\frac{4\sqrt{15}}{3} \\ -\frac{39+4\sqrt{15}}{6}\end{pmatrix}$