Gegeben: $p=6\mathrm{\%};K^{+}=10000;t=\frac{1}{2}\text{Jahr}p\; =\; 6\backslash \%;\backslash ;\; K^+\; =\; 10\backslash ,000;\backslash ;\; t\; =\; \backslash frac12\; \backslash text\{Jahr\}$

Gesucht: Kapital nach einem halben Jahr

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert / vermehrtes Kapital. Rechne zunächst die Zeit $tt$ in Tage um.

$t=\frac{1}{2}\text{Jahr}=180\text{Tage}t=\; \backslash frac\; 12\; \backslash text\{Jahr\}\; =\; 180\; \backslash ,\backslash text\{Tage\}$

Stelle die Formel für den Zinssatz nach einem halben Jahr auf und vereinfache so weit wie möglich.

$Z=K\cdot p\cdot \frac{t}{360}Z\; =\; K\; \backslash cdot\; p\; \backslash cdot\; \backslash frac\; t\; \{360\}$

$\phantom{Z}=K\cdot p\cdot \frac{180}{360}\backslash phantom\{Z\}\; =\; K\backslash cdot\; p\backslash cdot\backslash frac\{180\}\{360\}$

$\phantom{Z}=K\cdot p\cdot \frac{1}{2}\backslash phantom\{Z\}\; =\; K\; \backslash cdot\; p\; \backslash cdot\; \backslash frac\; 12$

Der vermehrte Grundwert /das vermehrte Kapital ist die Summe aus Startkapital und Zinsen. Stelle die Formel für den vermehrten Grundwert auf.

$K^{+}=K+ZK^+\; =K+Z$

$K^{+}=K+K\cdot p\cdot \frac{1}{2}K^+\; =\; K+K\; \backslash cdot\; p\; \backslash cdot\; \backslash frac\; 1\; 2$

$K^{+}=K\cdot (1+p\cdot \frac{1}{2})K^+\; =\; K\backslash cdot\; (1+p\backslash cdot\; \backslash frac12)$

Setze den vermehren Grudnwert $K^{+}K^+$ und den Zinssatz $pp$ ein. Berechne so weit wie möglich.

$10000=K\cdot (1+6\mathrm{\%}\cdot \frac{1}{2})10\backslash ,000\; =\; K\; \backslash cdot\; (1+6\backslash \%\; \backslash cdot\; \backslash frac12)$

$10000=K\cdot (1+\mathrm{0,03})10\backslash ,000\; =\; K\; \backslash cdot\; (1+0\{,\}03)$

$10000=K\cdot \mathrm{1,03}\mid :\mathrm{1,03}10\backslash ,000\; =\; K\; \backslash cdot\; 1\{,\}03\; \backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash left|:1\{,\}03\backslash right.$

$K=\frac{10000}{\mathrm{1,03}}K=\backslash frac\{10\backslash ,000\}\{1\{,\}03\}$

$K\approx 9709K\backslash approx9709$

Gegeben: $p=6\mathrm{\%};K^{+}=10000;t=\frac{1}{2}\text{Jahr}p\; =\; 6\backslash \%;\backslash ;\; K^+\; =\; 10\backslash ,000;\backslash ;\; t\; =\; \backslash frac12\; \backslash text\{Jahr\}$

Gesucht: Kapital nach einem halben Jahr

In einem ganzen Jahr fallen 6% Zinsen an. In einem halben Jahr sind es entsprechend halb so viele. Berechne, wie viel Prozent des Startkapitals nach einem halben Jahr mehr vorhanden sind.