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Erweitern und Kürzen von Brüchen

4Was heißt Kürzen?

Im vorigen Kapitel hast du gelernt, dass sich Brüche erweitern lassen, indem man die Bruchteile in gleich große Teilstücke unterteilt bzw. Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert.

Wir können aber umgekehrt Teilstücke zusammenfassen bzw. Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren.

Beispiel

48\dfrac48 des Rechtecks sind blau gefärbt.

kürzen1

Wenn wir jeweils zwei nebeneinanderliegende Felder zusammenfassen, lässt sich der blau gefärbte Bruchteil des Rechtecks schreiben als 24\dfrac24 schreiben.

kürzen

Fassen wir nochmals jeweils 2 übereinander Felder zusammen, erhalten wir den Bruch 12\dfrac12.

kürzen

Anschaulich ist dadurch auch klar, dass gilt:

48=24=12\dfrac48=\dfrac24=\dfrac12

Anstatt wie beim Erweitern Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren, können wir also auch Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren.

Hier gilt: 4:28:2=24\dfrac{4:2}{8:2}=\dfrac24 und 2:24:2=12\dfrac{2:2}{4:2}=\dfrac12

Formal können wir das schreiben als:

48=:224=:212\dfrac48\overset{:2}=\dfrac24\overset{:2}=\dfrac12

Dieses Vorgehen nennt man "Kürzen".

Anschaulich betrachtet bedeutet "Kürzen" eine Vergröberung der Unterteilung.

Mathematisch die Division von Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl.

Wichtig: Der Wert des Bruchs ändert sich dabei nicht!

Beispiele

Kürze den Bruch 39\dfrac39 mit der Zahl 3.

Anschaulich:

Fasse jeweils 3 Teile zusammen

kürzen

39=13\Rightarrow\dfrac39=\dfrac13

Mathematisch:

Dividiere Zähler und Nenner durch die Zahl 3

39=313  \dfrac39\overset3=\dfrac13\; oder   39=3:39:3=13\;\dfrac39=\dfrac{3:3}{9:3}=\dfrac13

Übungsaufgaben

1)

2)

3)


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