Oft ist es schwierig, gerade bei langen Termen den Überblick zu behalten. Um Terme zu gliedern, verwendet man meist „Bäume“, die die Struktur des Terms wiedergeben.
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In diesem Artikel wird erklärt, wie man Terme in eine solche Baumstruktur bringt.
Im Bild rechts sind bereits die Begriffe „Knoten“ und „Ast“ markiert. Sie sind vielleicht schon von früher bekannt, vom Abzählen mit Baumdiagrammen. Die Begriffe werden unten noch genauer erläutert.
Eigenschaften von Termbäumen
Von jedem Knoten gehen genau zwei Äste ab.
Knoten, von denen weitere Äste abgehen, nennt man innere Knoten.
Knoten, von denen keine Äste mehr abgehen, nennt man Blätter.
In Termbäumen sind innere Knoten immer Rechenzeichen (also ), Blätter sind Zahlen oder Variablen.
Klammern werden nicht dargestellt! Denn was zuerst berechnet wird, ist durch die Baumstruktur erkennbar, Klammern werden nicht benötigt.
Erstellen eines Termbaums
Man beginnt mit der Rechnung, die man zuerst ausführen würde. Sie bildet das unterste Astpaar. Die zweite Rechnung wird oben angefügt, und so weiter, bis man den Term vollständig abgebildet hat.
Die Vorgehensweise lässt sich am besten an einem Beispiel erklären.
Beispiel 1
Als erstes berechnet man die Differenz in der Klammer. Man schreibt die Differenz als Astpaar auf.
Das Ergebnis der Differenz wird mit multipliziert. Man zeichnet deswegen den Baum nach oben weiter.
Schließlich wird zu dem Produkt noch hinzu addiert. Auch hier zeichnet man den Baum nach oben weiter.
Ganz unten stehen also die Berechnungen, die zuerst durchgeführt werden. Das Astpaar steht für den Wert bzw. das Ergebnis der Berechnung.
Ganz oben steht die Berechnung, die zuletzt durchgeführt wird.
Beispiel 2
Dieses Beispiel ist komplexer als das obere, da mehrere Berechnungen als erste ausgeführt werden können.
Als erstes kann man die inneren Klammern berechnen. Man schreibt beide, sowohl die Differenz als auch die Summe, als zunächst getrennte Astpaare auf.
Zuerst betrachtet man den Ast, der die Differenz abbildet, und führt ihn weiter. Danach tut man das gleiche mit dem Ast, der die Summe abbildet.
Das Ergebnis der Differenz wird mit multipliziert.
Zu dem Produkt addiert man noch . Damit ist die erste eckige Klammer abgebildet.
Vom Ergebnis der ersten eckigen Klammer wird die zweite eckige Klammer subtrahiert. Dazu muss man zunächst die zweite eckige Klammer abbilden.
Die Summe hat man bereits als Astpaar notiert. Das Ergebnis der Summe wird durch geteilt. Damit ist auch die zweite eckige Klammer als Termbaum dargestellt.
Die beiden noch getrennten Termbäume werden nun durch ein (Minuszeichen) verbunden.
Auf KMap gibt es einen Termbaumgenerator. Man kann dort einen Term eingeben und bekommt sofort den Termbaum dazu angezeigt. Der Generator stellt die Bäume allerdings anders herum dar. Die Wurzel befindet sich unten und die Blätter sind oben.
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