$f(x)=x^4-2x^2-8$

Setze die Gleichung gleich $0$.

$0=x^4-2x^2-8$

$0=(x^2)^2-2x^2-8$

Substituiere: $z=x^2$.

$0=z^2-2z-8$

Löse die so gewonnene Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel.

$z_{1{,}2}=\dfrac{2 \pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-8)}}{2\cdot1}$

Jetzt wird noch vereinfacht.

$z_{1{,}2}=\dfrac{2 \pm\sqrt{36}}{2}$

$z_{1}=\dfrac{2+6}{2}=4$

$z_{2}=\dfrac{2-6}{2}=-2$

$f(x)=\dfrac{1}{2}x^6+x^3−4$

Setzte die Gleichung gleich $0$.

$0=\dfrac12(x^3)^2+x^3−4$

Substituiere: $u=x^3$.

$0=\dfrac12u^2+u−4$

Wende nun die Mitternachtsformel an um die Nullstellen der substituierten Gleichung zu berechnen.

$u_{1{,}2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4 \cdot \frac{1}{2} \cdot(-4)}}{2 \cdot \frac{1}{2}}$

Jetzt wird noch vereinfacht.

$u_{1{,}2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{1}$

$u_{1{,}2}=-1\pm\sqrt{9}$

$u_{1{,}2}=-1\pm3$

Berechne $u_1$ und $u_2$.

$u_1=2$ und $u_2=-4$

$u_1=2 \Leftrightarrow x_1=\sqrt[3]{2}\approx1{,}26$

$u_2=-4 \Leftrightarrow x_2=\sqrt[3]{-4}\approx{-1{,}59}$