Aufgaben zu Bruchgleichungen - lernen mit Serlo!

Bestimme jeweils die Lösungsmenge:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

$\displaystyle \frac2{x^2}+\frac1{x+1}=\frac1x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen

Definitionsmenge bestimmen

$\dfrac2{x^2}+\dfrac {1}{x+1}=\dfrac1x$

Keiner der Nenner darf $0$ werden.

Aus der Definitionsmenge musst du alle Zahlen ausschließen, für die sich $0$ im Nenner ergeben würde.

Verboten ist hier also:

$x^2=0$
$x+1=0$
$x=0$

Daher müssen ausgeschlossen werden: $0$ und $-1$ .

Die Definitionsmenge ist $\mathbb D =\mathbb {Q}\backslash\left\{0;-1\right\}$ , wenn als Grundmenge die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen verwendet wird.

Die Defintionsmenge ist $\mathbb{D}=ℝ\backslash\left\{0;-1\right\}$ , wenn als Grundmenge die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

$\dfrac2{x^2}+\dfrac {1}{x+1}=\dfrac1x$

Bilde den Hauptnenner. Der Hauptnenner ist bei dieser Gleichung: $x^2(x+1)$ . Bringe nun alle Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner und multipliziere anschließend die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner, damit alle Brüche wegfallen.

$\displaystyle \frac{2}{x^2}+\frac{1}{x+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x}$
	↓	Bilde den Hauptnenner.
$\displaystyle \frac{2(x+1)}{x^2(x+1)}+\frac{x^2}{x^2(x+1)}$	$=$	$\displaystyle \frac{x(x+1)}{x^2(x+1)}$	$\displaystyle \cdot x^2(x+1)$
$\displaystyle 2\left(x+1\right)+x^2$	$=$	$\displaystyle x\left(x+1\right)$
	↓	Löse die Klammern auf, und forme die Gleichung dann geeignet um.
$\displaystyle 2x+2+x^2$	$=$	$\displaystyle x^2+x$	$\displaystyle -x^2-x$
$\displaystyle x+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -2$

Überprüfe nun noch, ob $-2$ in der Definitionsmenge enthalten ist.

$x=-2 \in \mathbb D$

Damit ist $-2$ Lösung der Gleichung und du kannst die Lösungsmenge angeben.

$\Rightarrow\ \mathbb L = \{-2\}$

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$\displaystyle\frac2{x-2}-2=\frac1{4-2x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen

Definitionsbereich bestimmen

$\displaystyle\frac2{x-2}-2=\frac1{4-2x}$

Keiner der Nenner darf $0$ werden.

Aus der Definitionsmenge musst du alle Zahlen ausschließen, für die sich $0$ im Nenner ergeben würde.

$D_f=ℝ\backslash\left\{2\right\}$

Die Definitionsmenge ist $\mathbb D =\mathbb {Q}\backslash\left\{2\right\}$ , wenn als Grundmenge die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen verwendet wird.

Die Defintionsmenge ist $\mathbb{D}=ℝ\backslash\left\{2\right\}$ , wenn als Grundmenge die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen verwendet wird.

Lösungsmenge bestimmen

$\displaystyle\frac2{x-2}-2=\frac1{4-2x}$

Bilde wieder den Hauptnenner der Brüche. Hier musst du den Faktor $-2$ ausklammern im rechten Nenner.

$\displaystyle \frac{2}{x-2}-2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4-2x}$
$\displaystyle \frac{2}{x-2}-2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{-2\left(x-2\right)}$
	↓	Bilde den Hauptnenner beider Brüche: $-2(x-2)$
$\displaystyle \frac{2\cdot(-2)}{(-2)(x-2)}+\frac{(-2)(-2)(x-2)}{(-2)(x-2)}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{(-2)(x-2)}$	$\displaystyle \cdot(-2)(x-2))$
	↓	Multipliziere nun mit dem Hauptnenner.
$\displaystyle -4+4\cdot(x-2)$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle -4+4x-8$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle -12+4x$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle +12$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 13$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{13}{4}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3{,}25$

Überprüfe nun noch, ob $3{,}25$ in der Definitionsmenge enthalten ist.

$x=3{,}25 \in \mathbb D$

Damit ist $3{,}25$ Lösung der Gleichung, und du kannst die Lösungsmenge angeben.

$\Rightarrow\ \mathbb L = \{3{,}25\}$

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