Aufgaben zu Bruchgleichungen - lernen mit Serlo!

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Bestimme jeweils die Lösungsmenge:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen

Definitionsmenge bestimmen

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x}$

Keiner der Nenner darf $0$ werden.

Aus der Definitionsmenge musst du alle Zahlen ausschließen, für die sich $0$ im Nenner ergeben würde.

Verboten ist hier also:

$x^{2} = 0$
$x + 1 = 0$
$x = 0$

Daher müssen ausgeschlossen werden: $0$ und $- 1$ .

Die Definitionsmenge ist $𝔻 = ℚ \ {0; - 1}$ , wenn als Grundmenge die Menge $ℚ$ der rationalen Zahlen verwendet wird.

Die Defintionsmenge ist $𝔻 = ℝ \ {0; - 1}$ , wenn als Grundmenge die Menge $ℝ$ der reellen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x}$

Bilde den Hauptnenner. Der Hauptnenner ist bei dieser Gleichung: $x^{2} (x + 1)$ . Bringe nun alle Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner und multipliziere anschließend die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner, damit alle Brüche wegfallen.

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x + 1}$	$=$	$\frac{1}{x}$
	↓	Bilde den Hauptnenner.
$\frac{2 (x + 1)}{x^{2} (x + 1)} + \frac{x^{2}}{x^{2} (x + 1)}$	$=$	$\frac{x (x + 1)}{x^{2} (x + 1)}$	$\cdot x^{2} (x + 1)$
$2 (x + 1) + x^{2}$	$=$	$x (x + 1)$
	↓	Löse die Klammern auf, und forme die Gleichung dann geeignet um.
$2 x + 2 + x^{2}$	$=$	$x^{2} + x$	$- x^{2} - x$
$x + 2$	$=$	$0$	$- 2$
$x$	$=$	$- 2$

Überprüfe nun noch, ob $- 2$ in der Definitionsmenge enthalten ist.

$x = - 2 \in 𝔻$

Damit ist $- 2$ Lösung der Gleichung und du kannst die Lösungsmenge angeben.

$\Rightarrow 𝕃 = {- 2}$

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$\frac{2}{x - 2} - 2 = \frac{1}{4 - 2 x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen

Definitionsbereich bestimmen

$\frac{2}{x - 2} - 2 = \frac{1}{4 - 2 x}$

Keiner der Nenner darf $0$ werden.

Aus der Definitionsmenge musst du alle Zahlen ausschließen, für die sich $0$ im Nenner ergeben würde.

$D_{f} = ℝ \ {2}$

Die Definitionsmenge ist $𝔻 = ℚ \ {2}$ , wenn als Grundmenge die Menge $ℚ$ der rationalen Zahlen verwendet wird.

Die Defintionsmenge ist $𝔻 = ℝ \ {2}$ , wenn als Grundmenge die Menge $ℝ$ der reellen Zahlen verwendet wird.

Lösungsmenge bestimmen

$\frac{2}{x - 2} - 2 = \frac{1}{4 - 2 x}$

Bilde wieder den Hauptnenner der Brüche. Hier musst du den Faktor $- 2$ ausklammern im rechten Nenner.

$\frac{2}{x - 2} - 2$	$=$	$\frac{1}{4 - 2 x}$
$\frac{2}{x - 2} - 2$	$=$	$\frac{1}{- 2 (x - 2)}$
	↓	Bilde den Hauptnenner beider Brüche: $- 2 (x - 2)$
$\frac{2 \cdot (- 2)}{(- 2) (x - 2)} + \frac{(- 2) (- 2) (x - 2)}{(- 2) (x - 2)}$	$=$	$\frac{1}{(- 2) (x - 2)}$	$\cdot (- 2) (x - 2))$
	↓	Multipliziere nun mit dem Hauptnenner.
$- 4 + 4 \cdot (x - 2)$	$=$	$1$
	↓	Löse die Klammern auf.
$- 4 + 4 x - 8$	$=$	$1$
$- 12 + 4 x$	$=$	$1$	$+ 12$
$4 x$	$=$	$13$	$: 4$
$x$	$=$	$\frac{13}{4}$
$x$	$=$	$3,25$

Überprüfe nun noch, ob $3,25$ in der Definitionsmenge enthalten ist.

$x = 3,25 \in 𝔻$

Damit ist $3,25$ Lösung der Gleichung, und du kannst die Lösungsmenge angeben.

$\Rightarrow 𝕃 = {3,25}$

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