Aufgaben zum Rechnen mit Logarithmen

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Ersetze die folgenden Terme durch einen einzigen Logarithmus und vereinfache diesen so weit wie möglich.

$\log_k\left(m^4\right)-2\log_k\left(m\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus

Ein mögliches Vorgehen ist:

	$\displaystyle \log_k\left(m^4\right)-2\log_k\left(m\right)$
	↓ Verwende $\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_bu$
$=$	$\displaystyle 4\log_k\left(m\right)-2\log_km$
	↓ Subtrahiere
$=$	$\displaystyle 2\log_k\left(m\right)$

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$2\log_a\left(x+1\right)+\log_a\left(\frac{1}{x^2-1}\right)$

Ein mögliches Vorgehen kann so aussehen:

	$\displaystyle 2\log_a\left(x+1\right)+\log_a\left(\frac{1}{x^2-1}\right)$
	↓ Verwende $\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_bu$
$=$	$\displaystyle \log_a\left(\left(x+1\right)^2\right)+\log_a\left(\frac{1}{x^2-1}\right)$
	↓ Verwende $\log_bu+\log_bv=\log_b\left(u\cdot v\right)$
$=$	$\displaystyle \log_a\left(\left(x+1\right)^2\cdot\frac{1}{x^2-1}\right)$
	↓ Schreibe als einen Bruch und wende die 3. binomische Formel an
$=$	$\displaystyle \log_a\left(\frac{\left(x+1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\right)$
	↓ Kürze
$=$	$\displaystyle \log_a\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$

$2\log(u)+\frac12\left[\log\left(u+v\right)+\log\left(u-v\right)\right]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus

$\displaystyle \;2\log\;u+\frac12\left[\log\left(u+v\right)+\log\left(u-v\right)\right]$	$=$	$\displaystyle \log\;u^2+\frac12\left[\log\left(u+v\right)+\log\left(u-v\right)\right]$
	↓	Wende die Produktregel des Logarithmus an.
	$=$	$\displaystyle \log\;u^2+\frac12\left[\log\left(\left(u+v\right)\cdot\left(u-v\right)\right)\right]$
	↓	Wende die 3. Binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \log\;u^2+\frac12\log\left(u^2-v^2\right)$
	↓	Wende die Potenzregel des Logarithmus an.
	$=$	$\displaystyle \log\;u^2+\log(u^2-v^2)^\frac12$
	↓	Wende $x^\frac12=\sqrt x$ an.
	$=$	$\displaystyle \log\;u^2+\log(\sqrt{u^2-v^2})$
	↓	Wende die Produktregel für Logarithmus an und fasse somit beide Logarithmen zu einem Logarithmus zusammen.
	$=$	$\displaystyle \log\left(u^2\sqrt{u^2-v^2}\right)$

$\left(n+1\right)\cdot\log(x)-\frac13\;\cdot\;\log\left(x^{6n}\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus

$\displaystyle \left(n+1\right)\cdot\log\;x-\frac13\;\cdot\;\log\left(x^{6n}\right)$	$=$	$\displaystyle \;\log\;x^{n+1}-\log\;x^{2n}$
	↓	Wende die Quotientenregel des Logarithmus an.
	$=$	$\displaystyle \log\frac{x^{n+1}}{x^{2n}}$
	↓	Wende innerhalb des Logarithmus das zweite Potenzgesetz an.
	$=$	$\displaystyle \log\;x^{1-n}$

$\log\left(\mathrm{ab}\right)+\log\left(\frac ab\right)-\log\left(\mathrm{ab}\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus

$\displaystyle \log\left(\mathrm{ab}\right)+\log\left(\frac ab\right)-\log\left(\mathrm{ab}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \log\left(\frac{a\cdot b\cdot a}b\right)-\log\left(\mathrm{ab}\right)^2$
	↓	Kürze den Logarithmus und ziehe das Quadrat in die Klammer.
	$=$	$\displaystyle \log\;a^2-\log\left(a^2b^2\right)$
	↓	Wende die Quotientregel des Logarithmus an.
	$=$	$\displaystyle \log\frac{a^2}{a^2b^2}$
	↓	Kürze den Logarithmus.
	$=$	$\displaystyle \log\frac1{b^2}$

Gesucht ist die Basis $b$ .

$\log_b5=0{,}5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus auflösen

$\displaystyle \log_b5$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$
	↓	Wende die Definition des Logarithmus an.
$\displaystyle b^{0{,}5}$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	Quadriere beide Seiten.
$\displaystyle \left( b^{0{,}5} \right)^2$	$=$	$\displaystyle 5^2$
	↓	Verwende das Potenzgesetz $\left(a^{x}\right)^y=a^{x \cdot y}$ .
$\displaystyle b^{0{,}5 \cdot 2}$	$=$	$\displaystyle 25$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 25$

$\log_b\left(\frac1{25}\right)=2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus auflösen

$\displaystyle \log_b\left(\frac{1}{25}\right)$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$\displaystyle b^2$	$=$	$\displaystyle \frac1{25}$
	↓	Ziehe die Wurzel. Beachte, dass die Basis $b$ positiv sein muss.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \frac15$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 0{,}2$

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