Aufgaben zum Baumdiagramm

1
Lucia feiert ihren 11. Geburtstag. Sie hat Angelika (A), Boris (B) und Christoph (C) eingeladen. Sie kommen nacheinander. Bestimme anhand eines Baumdiagramms, wie viele und welche Möglichkeiten ihres Eintreffens es gibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abzählen mit Baumdiagrammen
Als erstes kann jeder kommen, es gibt also 3 mögliche erste Besucher.
Anschließend können nur noch diejenigen, die nicht zuerst da waren, eintreffen, also 2 mögliche zweite Besucher.
Für den zuletzt Eintreffenden gibt es nur noch eine Möglichkeit.
$\Rightarrow$ Es gibt 6 Möglichkeiten: {A,B,C}, {A,C,B}, {B,A,C}, {B,C,A}, {C,A,B}, {C,B,A}.
2
In einer Urne befinden sich eine weiße, eine schwarze, eine rote und eine blaue Kugel. Es werden nacheinander (und ohne Zurücklegen) zwei Kugeln entnommen.
1. Zeichne ein Baumdiagramm und lies den Ergebnisraum $\Omega$ dieses Zufallsexperiments ab.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm
  $\Omega=\{ws; wr; wb; sw; sr; sb; rw; rs; rb; bw; bs; br\}$
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2. Ermittle die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
  A: Keine der gezogenen Kugeln ist rot. B: Unter den gezogenen Kugeln ist eine rote. C: Es werden zwei rote Kugeln gezogen. D: Die gezogenen Kugeln sind weiß und schwarz.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm
  Ereignis A
  Es gibt 6 verschiedene Möglichkeiten, dafür, dass keine der gezogenen Kugeln rot ist.
  $A=\{ws; wb; sw; sb; bw; bs\}$
  $P(A)=P\left(ws\right)+P\left(wb\right)+P\left(sw\right)+P\left(sb\right)+P\left(bw\right)+P\left(bs\right)=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{6}{12}=0{,}5=50\%$
  Ereignis B
  Es gibt 6 Möglichkeiten dafür, dass eine rote unter den gezogenen Kugeln ist.
  $B=\{wr, sr; rw; rs; rb; br\}$
  $P(B)=P\left(wr\right)+P\left(sr\right)+P\left(rw\right)+P\left(rs\right)+P\left(rb\right)+P\left(br\right)=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{6}{12}=0{,}5=50\%$
  Ereignis C
  Das Ereignis C ist nicht möglich, weil keine zwei roten Kugeln in der Urne sind. Die Ereignismenge ist also leer.
  $C=\{\}$
  $P(C)=0=0\%$
  Ereignis D
  Es gibt zwei Möglichkeiten dafür, dass eine Kugel weiß und eine Kugel schwarz ist.
  $D=\{ws; sw\}$
  $P(D)=P\left(ws\right)+P\left(sw\right)=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{2}{12}\approx0{,}167=16{,}7\%$
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3. Gib in Worten ein Ereignis E mit der Wahrscheinlichkeit $P(E)=25\ \%$ und ein Ereignis F mit der Wahrscheinlichkeit $P(F)=\frac{1}{3}$ an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ereignisse bestimmen
  Wähle zum Beispiel folgende Ereignisse E und F:
  $E$ : "Die zweite gezogene Kugel ist weiß."
  $E=\{sw; rw; bw\}$
  $P(E)=P\left(sw\right)+P\left(rw\right)+P\left(bw\right)=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}=25\ \%$
  $F$ : "Zuerst wird entweder weiß oder schwarz gezogen, danach entweder rot oder blau."
  $F=\{wr; wb; sr; sb\}$
  $P(F)=P\left(wr\right)+P\left(wb\right)+P\left(sr\right)+P\left(sb\right)=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\approx0.33=33\ \%$
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Wie viele gerade zweistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 0, 1, 2, 3 bilden?

4
Wie viele zweistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 bilden, wenn keine Ziffer doppelt vorkommen darf?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stochastik
Mithilfe des Baumdiagramms verdeutlichen.
$L=\left\{12{,}13{,}14{,}21{,}23{,}24{,}31{,}32{,}34{,}41{,}42{,}43\right\}$
Für die erste Stelle stehen 4 Ziffern zur Verfügung. Bei der zweiten Stelle dürfen nur noch die 3 verbliebenen Ziffern verwendet werden. Damit ergeben sich
$4\cdot3=12$
Kombinationen. Es lassen sich also insgesamt 12 zweistellige Zahlen bilden, die nicht doppelt-ziffrig sind.
5
Wie viele zweistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 bilden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stochastik
Mithilfe des Baumdiagramms verdeutlichen.
$L=\left\{11{,}12{,}13{,}14{,}21{,}22{,}23{,}24{,}31{,}32{,}33{,}34{,}41{,}42{,}43{,}44\right\}$
Für die erste Stelle stehen 4 Ziffern zur Verfügung. Gleiches gilt für die zweite Ziffer. Insgesamt ergeben sich damit
$4\cdot4=16$
Kombinationen. Es lassen sich also insgesamt 16 zweistellige Zahlen aus den Ziffern 1,2,3 und 4 bilden.
6
Eine Münze wird dreimal geworfen. Zeichne für folgende Ereignisse die Baumdiagramme und stelle sie in Mengenschreibweise dar.
Hinweis: Die Lösung erfolgt hier mit Hilfe von "Teil-Baumdiagrammen", die nur die für das jeweilige Ereignis günstigen Pfade enthalten. In der nächsten Aufgabe (Aufgabe 8) wird das gesamte Baumdiagramm gezeigt, aus dem sich mit Hilfe der 2. Pfadregel die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten ermitteln (also an den Pfaden ablesen und addieren) lassen.
(Z steht für Zahl, W für Wappen)
2. $A$ : "Zahl erscheint höchstens einmal"
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm
  $A=\{ZWW; WZW; WWZ; WWW\}$
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3. $B$ : "Wappen erscheint beim ersten Wurf"
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm
  $B=\{WZZ; WZW; WWZ; WWW\}$
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4. $C$ : "Es wird nie Wappen geworfen"
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm
  $C=\{ZZZ\}$
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7
Zeichne den Baum für den dreifachen Münzenwurf Wappen(W) und Zahl(Z) und bestimme die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm
8
In einer Urne befinden sich 1 weiße, 2 rote und 3 schwarze Kugeln. Man zieht nacheinander zwei Kugeln einmal ohne Zurücklegen und einmal mit Zurücklegen der Kugel nach jedem Zug. Zeichne jeweils ein Baumdiagramm und gib einen Ergebnisraum und seine Mächtigkeit an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm
1. Ohne Zurücklegen
Schreibe die Ereignisse auf und die gib die Mächtigkeit der Menge an.
$\Omega$ = {(w,r), (w,s), (r,r), (r,w), (r,s), (s,s), (s,w), (s,r)}
$|\Omega|= 8$
2. Mit Zurücklegen
Schreibe die Ereignisse auf und die gib die Mächtigkeit der Menge an.
$\Omega$ = {(w,w), (w,s), (w,r), (r,r), (r,s), (r,w), (s,s), (s,r), (s,w)}
$|\Omega|= 9$
9
Stefans kleiner Bruder spielt mit seinen Bauklötzen. Er hat drei rote, einen grünen und einen blauen Bauklotz. Wie viele verschiedene Türme aus drei Klötzen kann er bauen? Zeichne ein Baumdiagramm.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abzählen mit dem Baumdiagramm
Abzählen mit Baumdiagrammen
Beachte beim Aufstellen des Baumdiagramms, dass es nur jeweils einen blauen und grünen Bauklotz gibt!
Ergebnis:
Es gibt 13 Möglichkeiten, wie Stefans kleiner Bruder einen dreistöckigen Bauklotzturm bauen kann.
10
Oma hat in einer Schublade $18$ blaue und $12$ andersfarbige Kugelschreiber. Bei sieben blauen Kugelschreibern und bei fünf der anderen ist die Mine eingetrocknet.
1. Erstelle eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Absolute Häufigkeit
  b=blau ; bn=nicht blau ; s=schreibt ; sn=schreibt nicht
  $b$
  $bn$
  Summe
  $sn$
  7
  5
  12
  $s$
  18
  12
  Berechne nun die fehlenden Werte: $|S \cap B|=|B|- | \overline{S} \cap B|= 18-7=11$ Absolute Häufigkeit der Kulis: $18+12=30$ $|S|=30-\overline{S}|=30-12=18$ $| S \cap \overline{B}|=|\overline{B}|-|\overline{S}-\overline{B}|=12-5=7$
  So sieht die fertige Vierfeldertafel dann aus :
  $b$
  $bn$
  Summe
  $sn$
  7
  5
  12
  $s$
  11
  7
  18
  18
  12
  30
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2. Erstelle ein Baumdiagramm, mit dem die Fragen c) und d) beantwortet werden können.
  (b=blau ; bn=nicht blau ; s=schreibt ; sn=schreibt nicht)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm
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3. Oma greift ohne hinzusehen in die Schublade und nimmt einen Kugelschreiber heraus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist seine Mine nicht eingetrocknet?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
  Es muss entweder ein blauer Stift sein, der schreibt $(b\ s)$ , oder ein andersfarbiger Stift, der schreibt $(bn\ s)$ .
  Lies die Wahrscheinlichkeiten aus dem Baumdiagramm von b) ab und addiere sie für die Gesamtwahrscheinlichkeit (2. Pfadregel).
  $P(s)=P(b\ s)+P(bn\ s)=\frac{11}{30}+\frac{7}{30}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}=0{,}6$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ zu $60\ \%$ Wahrscheinlichkeit ist der Stift nicht eingetrocknet.
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4. Oma hat einen blauen Kugelschreiber aus der Schublade genommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit „schreibt“ er?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm
  Wahrscheinlichkeiten aus Baumdiagramm von b) ablesen
  $P(s|b)=\frac{11}{18}\approx0{,}61$
  $⇒ \text{Der blaue Stift schreibt zu ca. 61\%.}$
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	$b$	$bn$	Summe
$sn$	7	5	12
$s$
	18	12

	$b$	$bn$	Summe
$sn$	7	5	12
$s$	11	7	18
	18	12	30

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{10{,}12{,}20{,}22{,}30{,}32\right\}$
$\displaystyle 3\cdot2$	$=$	$\displaystyle 6$
	↓	0 wird ausgeschlossen, da 0 an der 1. Stelle keine zweistellige Zahl bilden kann. Somit bleiben noch 3 Zahlen für die 1. Stelle. An 2. Stelle können nur noch 2 der 4 Zahlen stehen, da nur 2 gerade sind. Also hat man noch 3 Ziffern für die 1. Stelle und 2 für die 2. Stelle, das heißt, dass es ingesamt 6 Lösungen gibt

Aufgaben zum Baumdiagramm

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Ereignis A

Ereignis B

Ereignis C

Ereignis D

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1. Ohne Zurücklegen

2. Mit Zurücklegen

Abzählen mit Baumdiagrammen

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