$\sqrt{49a^4b^2}$

Es handelt sich um eine Definitionslücke, wenn eine negative Zahl unter der Wurzel steht.

Da die Exponenten von $a$ und $b$ gerade sind, gibt es keine Definitionslücke, da $x^{2n}$ immer positiv ist.

$\sqrt{49a^4b^2}=7\cdot a^2\cdot\left|b\right|$

Betragsstriche, da $b$ negativ sein könnte.

$\sqrt{\left(-b\right)^2}$

Es handelt sich um eine Definitionslücke, wenn eine negative Zahl unter der Wurzel steht.

Der Exponent von $b$ ist gerade, daher gibt es keine Definitionslücke, da $\left(-x\right)^{n_\mathrm{gerade}}$ immer positiv ist.

$\sqrt{-b}^{\;2}$

Die Zahl unter der Wurzel darf nicht negativ sein. $\;\;\Rightarrow\;\;$ Nur negative Zahlen oder $0$ sind für $b$ möglich.

$\sqrt{-b}^{\;2}$$=-b$

Die Potenz hebt die Wurzel auf.

$\sqrt{\left(1-2x\right)^2}$

Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen. Durch das Quadrieren, wird der Wert positiv, weshalb alle Zahlen eingesetzt werden können.

$\sqrt{\left(1-2x\right)^2}=\left|1-2x\right|$

Wurzel ziehen. Wurzel und Quadrat heben sich auf. Wegen möglicher negativer Zahlen, Betragsstriche einfügen.

$\sqrt{\left(x-y\right)^2}$

Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen, durch das Quadrieren wird der Wert positiv, weshalb alle Zahlen eingesetzt werden können.

$\sqrt{\left(x-y\right)^2}=\left|x-y\right|$

Beim Wurzel ziehen heben sich Wurzel und Quadrat auf. Füge Betragsstriche ein, aufgrund möglicher negativer Zahlen.

$\sqrt{x^2+y^2}$

Der Betrag unter der Wurzel darf nicht negativ sein. Da die Exponenten von $x$ und $y$ gerade sind, darf für $x$ und $y$ alles eingesetzt werden.

$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+y^2}$

Es kann keine Wurzel gezogen werden, daher lässt sich die Aufgabe nicht allgemein lösen.