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Einführung zur Ebene im Raum

11Beispiel: Ebene mit zwei sich schneidenden Geraden aufstellen

Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden (siehe Spoiler)

g:X⃗=(23−4)+λ(243)und  h:Y⃗=(14−4)+μ(1−10)\displaystyle g:\vec X=\begin{pmatrix}2 \\ 3\\-4 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 2\\ 4\\3 \end{pmatrix}\text{und}\;h:\vec Y=\begin{pmatrix}1\\ 4\\ -4 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\ -1 \\ 0\end{pmatrix}

Prüfe nun, ob die beiden Geraden parallel zueinander sind.

Da (243)\begin{pmatrix} 2\\ 4\\3 \end{pmatrix} kein Vielfaches von (1−10)\begin{pmatrix}1\\ -1 \\ 0\end{pmatrix} ist, sind die beiden Geraden nicht parallel.

Deshalb kannst du nun einfach als Aufpunkt der Ebene EE den Aufpunkt der Geraden gg wählen. Der erste Spannvektor von EE ist der Richtungsvektor der Geraden gg und der zweite Spannvektor ist der Richtungsvektor der Geraden hh.

Also lautet die Ebenengleichung:

E:X⃗=(23−4)+λ(243)+μ(1−10).\displaystyle E: \vec X=\begin{pmatrix}2 \\ 3\\-4 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 2\\ 4\\3 \end{pmatrix}+\mu \begin{pmatrix}1\\ -1 \\ 0\end{pmatrix}.

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