title
reasoning
Format noch gemäß Richtlinien verbessern (Alex K.) sowieso
Erster Satz problematisch bzw. einfach falsch (nur für stetige Funktionen korrekt) (Alex K.) Ja
Gesamte Ausdrucksweise überarbeitungswürdig (z. B. "Die Stammfunktion erhält man durch Integration, sozusagen umgekehrtes Ableiten" und Ähnliches) (Alex K.) Ja
"Meist funktioniert nur eine dieser Methoden" - verwirrender Satz, da in vielen, etwas schwierigeren Fällen erst die eine und dann die andere Methode anzuwenden ist (Alex K.) ----Satz komplett gestrichen---- Ja
Stammfunktionen finden durch Probieren: Kann man weglassen, da eigentlich nicht Ziel in der Schule? (Alex K.)
- Beispielaufgaben, Gedanken darstellen
Da im G8 dies eine der Hauptvarianten ist, um ein Integral zu "erhalten": Wäre nicht sogar vielleicht ein eigener Artikel / Aufgabenbereich angebracht? (Alex K.)
Format noch gemäß Richtlinien verbessern (Alex K.) sowieso
Erster Satz problematisch bzw. einfach falsch (nur für stetige Funktionen korrekt) (Alex K.) Ja
Gesamte Ausdrucksweise überarbeitungswürdig (z. B. "Die Stammfunktion erhält man durch Integration, sozusagen umgekehrtes Ableiten" und Ähnliches) (Alex K.) Ja
"Meist funktioniert nur eine dieser Methoden" - verwirrender Satz, da in vielen, etwas schwierigeren Fällen erst die eine und dann die andere Methode anzuwenden ist (Alex K.) ----Satz komplett gestrichen---- Ja
Stammfunktionen finden durch Probieren: Kann man weglassen, da eigentlich nicht Ziel in der Schule? (Alex K.)
- Beispielaufgaben, Gedanken darstellen
Da im G8 dies eine der Hauptvarianten ist, um ein Integral zu "erhalten": Wäre nicht sogar vielleicht ein eigener Artikel / Aufgabenbereich angebracht? (Alex K.)
content
Eine Stammfunktion %%F%% einer ursprünglichen, stetigen Funktion %%f%% ist eine differenzierbare Funktion, deren Ableitung wieder die ursprüngliche Funktion %%f%% ist.
Umgekehrt ergibt das unbestimmte Integral über eine Funktion %%f%% alle Stammfunktionen %%F%%. Es gilt also
$$F'(x)=f(x)$$ und $$\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C \text{ mit } C\in\mathbb{R}$$
Zu einer Stammfunktion %%F%% kann man jede beliebige Zahl addieren und erhält wieder eine Stammfunktion, da eine konstante Zahl beim Ableiten wegfällt. Gibt man die allgemeine Stammfunktion an, so muss man ein "%%+C%%" hinzufügen, das für diese beliebige, konstante Zahl steht.
Finden einer Stammfunktion
Im Gegensatz zum Ableiten, für das sehr allgemeine Regeln existieren, kann sich das Integrieren als sehr schwer gestalten; es gibt sogar Funktionen, die keine explizite Stammfunktion besitzen (z. B. %%f(x)=e^{x^2}%%).
Es gilt aber: Findet man eine Funktion %%F%%, deren Ableitung gleich %%f%% ist, so ist %%F%% eine Stammfunktion von %%f%%. Das heißt, wir können problemlos alle Funktionen integrieren, von denen wir wissen, dass sie die Ableitung einer Funktion sind, die wir kennen.
Wir wissen zum Beispiel, dass die Ableitung des natürlichen Logarithmus die Funktion %%\frac1x%% ist. Also gilt %%\int\frac1x\mathrm{dx}=\ln(x)+C%%.
Sieht man einer Funktion nicht auf diesem Weg direkt ihre Stammfunktion an, so kann man versuchen, mit Integrationsmethoden wie der partiellen Integration, der Substitution oder der Partialbruchzerlegung zu integrieren.
Man beachte dabei auch die Rechenregeln des Integrals.
Wichtige Stammfunktionen
%%f%%
Stammfunktion von %%f%%
%%f(x)=\frac{1}{\sin^2(x)}%%
%%F(x)=-\cot(x)+C%%
%%f(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}%%
%%F\left(x\right)=\tan\left(x\right)\;+\;C%%
%%f\left(x\right)=\frac1{1+x^2}%%
%%F\left(x\right)=\arctan\left(x\right)\;+\;C%%
%%f(x)=\sqrt[n]{x}=x^\frac{1}{n}%%
%%F(x)=\frac{x^{\frac{1}{n}+1}}{{\displaystyle\frac{1}{n}}+1}+C%%
%%f(x)=a^x%% mit %%a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}%%
%%F(x)=\frac{a^x}{\ln(a)}+C%%
Integrationsmethoden
Ist von einer Funktion nicht direkt die Stammfunktion ersichtlich (bekannt), lässt diese sich in manchen Fällen dennoch mit einer der folgenden Methoden bestimmen.
Partielle Integration
$$\int u(x)\cdot v'(x)\mathrm{d}x=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm{d}x$$
Substitution
$$\int_a^bf(g(x))g'(x)\mathrm{d}x=\int_{g(a)}^{g(b)}f(z)\mathrm{d}z$$
Logarithmische Integration (Sonderfall der Substitution)
$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{d}x=\ln|f(x)|$$
Stammfunktionen finden durch Probieren
Falls die oberen Methoden nicht funktionieren, kann man versuchen, selbst eine Stammfunktion zu finden. Durch Ableiten kann man überprüfen, ob die Funktion eine Stammfunktion ist und sie eventuell ergänzen, bis das Ergebnis stimmt.
Beispielaufgaben
Berechne zu den gegebenen Funktionen die zugehörige Stammfunktion.
Eine Stammfunktion %%F%% einer ursprünglichen, stetigen Funktion %%f%% ist eine differenzierbare Funktion, deren Ableitung wieder die ursprüngliche Funktion %%f%% ist.
Umgekehrt ergibt das unbestimmte Integral über eine Funktion %%f%% alle Stammfunktionen %%F%%. Es gilt also
$$F'(x)=f(x)$$ und $$\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C \text{ mit } C\in\mathbb{R}$$
Zu einer Stammfunktion %%F%% kann man jede beliebige Zahl addieren und erhält wieder eine Stammfunktion, da eine konstante Zahl beim Ableiten wegfällt. Gibt man die allgemeine Stammfunktion an, so muss man ein "%%+C%%" hinzufügen, das für diese beliebige, konstante Zahl steht.
Finden einer Stammfunktion
Im Gegensatz zum Ableiten, für das sehr allgemeine Regeln existieren, kann sich das Integrieren als sehr schwer gestalten; es gibt sogar Funktionen, die keine explizite Stammfunktion besitzen (z. B. %%f(x)=e^{x^2}%%).
Es gilt aber: Findet man eine Funktion %%F%%, deren Ableitung gleich %%f%% ist, so ist %%F%% eine Stammfunktion von %%f%%. Das heißt, wir können problemlos alle Funktionen integrieren, von denen wir wissen, dass sie die Ableitung einer Funktion sind, die wir kennen.
Wir wissen zum Beispiel, dass die Ableitung des natürlichen Logarithmus die Funktion %%\frac1x%% ist. Also gilt %%\int\frac1x\mathrm{dx}=\ln(x)+C%%.
Sieht man einer Funktion nicht auf diesem Weg direkt ihre Stammfunktion an, so kann man versuchen, mit Integrationsmethoden wie der partiellen Integration, der Substitution oder der Partialbruchzerlegung zu integrieren.
Man beachte dabei auch die Rechenregeln des Integrals.
Wichtige Stammfunktionen
%%f%%
Stammfunktion von %%f%%
%%f(x)=\frac{1}{\sin^2(x)}%%
%%F(x)=-\cot(x)+C%%
%%f(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}%%
%%F\left(x\right)=\tan\left(x\right)\;+\;C%%
%%f\left(x\right)=\frac1{1+x^2}%%
%%F\left(x\right)=\arctan\left(x\right)\;+\;C%%
%%f(x)=\sqrt[n]{x}=x^\frac{1}{n}%%
%%F(x)=\frac{x^{\frac{1}{n}+1}}{{\displaystyle\frac{1}{n}}+1}+C%%
%%f(x)=a^x%% mit %%a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}%%
%%F(x)=\frac{a^x}{\ln(a)}+C%%
Integrationsmethoden
Ist von einer Funktion nicht direkt die Stammfunktion ersichtlich (bekannt), lässt diese sich in manchen Fällen dennoch mit einer der folgenden Methoden bestimmen.
Partielle Integration
$$\int u(x)\cdot v'(x)\mathrm{d}x=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm{d}x$$
Substitution
$$\int_a^bf(g(x))g'(x)\mathrm{d}x=\int_{g(a)}^{g(b)}f(z)\mathrm{d}z$$
Logarithmische Integration (Sonderfall der Substitution)
$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{d}x=\ln|f(x)|$$
Stammfunktionen finden durch Probieren
Falls die oberen Methoden nicht funktionieren, kann man versuchen, selbst eine Stammfunktion zu finden. Durch Ableiten kann man überprüfen, ob die Funktion eine Stammfunktion ist und sie eventuell ergänzen, bis das Ergebnis stimmt.
