Rechen- und Verständnisaufgaben zur Quadratwurzel

Vereinfache den Term $\sqrt{169}\cdot x+\sqrt{169\cdot x^2}$ und gib an, für welche Werte von $x$ sich der Termwert $0$ ergibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln

Definitionsmenge bestimmen

$\sqrt{169}\cdot x+\sqrt{169\cdot x^2}$

Beim ersten Summand steht $x$ alleine. Man kann also alle reellen Zahlen für $x$ einsetzen.

Beim zweiten Summanden steht $x^2$ unter der Wurzel. Die Anforderung des Definitionsbereiches einer Wurzel ist, dass keine negative Zahl drin stehen darf. Das $x$ in dieser Wurzel steht aber im Quadrat, das bedeutet das der Wert für alle Zahlen $x$ nicht-negativ wird, egal ob das ursprüngliche $x$ negativ oder positiv war.

Also kann man alle reellen Zahlen für $x$ einsetzen.

$D=\mathbb{R}$

Radizieren

$\sqrt{169}\cdot x+\sqrt{169\cdot x^2}$

Schreibe $169$ als Quadratzahlen.

$\displaystyle \sqrt{169}\cdot x+\sqrt{169\cdot x^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{13^2}\cdot x+\sqrt{13^2\cdot x^2}$
	↓	Beachte die Rechenregeln zum Radizieren und vor allem die Betragsstriche.
	$=$	$\displaystyle 13\cdot x+13\cdot\left\|x\right\|$

Betrag auflösen

Nun musst du noch den Betrag auflösen. Dafür benötigst du eine Fallunterscheidung.

1. Fall: Positive $x$ , also $x\geq0$

Wenn man nur positive $x$ -Werte einsetzt kann man die Betragsstriche weglassen.

$\displaystyle 13\cdot x+13\cdot\left\|x\right\|$	$=$	$\displaystyle 13x+13x$
	$=$	$\displaystyle 26x$

$26x=0$ , wenn $x=0$ gilt.

2. Fall: Negative $x$ , also $x\leq0$

$13\cdot x+13\cdot \left|x\right|$

Wenn man nur negative $x$ -Werte einsetzt, kann man $-x$ anstatt $\left|x\right|$ schreiben

$\displaystyle 13\cdot x+13\cdot\left\|x\right\|$	$=$	$\displaystyle 13x+13\cdot\left(-x\right)$
	$=$	$\displaystyle 13x-13x$
	$=$	$\displaystyle 0$

Für negative $x$ -Werte wird der Ausdruck also immer 0.

Der Term $\sqrt{169}\cdot x+\sqrt{169\cdot x^2}$ wird also $0$ für alle $x\le0$ , also für $x=0$ und alle negativen Zahlen.

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