Aufgaben zur Berechnung von Längen im Koordinatensystem

Lerne hier, den Abstand zwischen Punkten zu berechnen und die Länge von Strecken im Koordinatensystem zu bestimmen.

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Berechne die Länge der Strecke $\left[AB\right]$ mithilfe der angegebenen Koordinaten
1. A(2|8), B(2|2)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Längen im Koordinatensystem
  Trage die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem ein.
  Der Punkt A liegt höher als der Punkt B. Außerdem ist die Strecke [AB] parallel zur y-Achse, weil die Punkte A und B den gleichen x-Wert (Rechtswert) haben.
  Berechne die Länge der Strecke [AB], indem du den y-Wert des unteren Punktes von dem y-Wert des oberen Punktes subtrahierst.
  $\overline{AB} = y_A-y_B$
  Setze nun die y-Koordinaten von A und B ein.
  $\overline{AB} = 8-2=6$
  Antwort: die Strecke [AB] hat die Länge 6.
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2. A(-3|-2), B(5|-2)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Längen im Koordinatensystem
  Trage die Punkte A und B in ein Koordinatensystem ein.
  Der Punkt B liegt rechts von dem Punkt A. Außerdem ist die Strecke [AB] parallel zur x-Achse, da die beiden Punkte den gleichen y-Wert (Hochwert) haben.
  Berechne die Länge der Strecke [AB], indem du den x-Wert des Punktes, der weiter links liegt ( $x_A$ ), von dem x-Wert des Punktes, der weiter rechts liegt ( $x_B$ ), subtrahierst.
  $\overline{AB}=x_B-x_A$
  Setze die gegebenen x-Werte ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {rcl}\overline{AB}&=&5-(-3)\\&=& 5+3=8 \end{array}$
  Antwort: Die Strecke [AB] hat die Länge 8.
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3. A(-2|3), B(1|-1)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Längen im Koordinatensystem
  Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein.
  Berechne die Länge der Katheten. Die Kathete 1 ist parallel zur x-Achse und die Kathete 2 ist parallel zur y-Achse.
  $\mathrm{Kathete}\ 1=1-(-2)=3$
  $\mathrm{Kathete}\ 2=3-(-1)=4$
  Wende den Satz des Pythagoras an. Die gesuchte Strecke ist die Hypotenuse.
  $a^2+b^2=c^2$
  $c=\sqrt{a^2+b^2}$
  $\overline{AB}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
  Die Strecke [AB] hat die Länge 5.
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Berechne die Länge der Strecke $\left[AB\right]$ .
1. Längen im Koordinatensystem
  Lies die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ aus dem Koordinatensystem ab.
  $A(3|-1)$ und $B(3|5)$
  Der Punkt $B$ liegt höher als der Punkt $A$ . Berechne nun die Länge der Strecke [ $AB$ ], indem du den $y$ -Wert des unteren Punktes $A$ von dem $y$ -Wert des oberen Punktes $B$ subtrahierst.
  $\overline{AB}=y_B-y_A$
  Setze die gegebenen Koordinaten der Punkte ein.
  $\overline{AB}=5-(-1)\\=5+1 =6$
  Antwort: Die gegebene Strecke hat die Länge 6.
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2. Längen im Koordinatensystem
  Lies die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ aus dem Koordinatensystem ab.
  $A(4|3)$ und $B(-3|3)$
  Der Punkt $A$ liegt weiter rechts als der Punkt $B$ . Außerdem ist die Strecke parallel zur x-Achse. Berechne die Länge von $[AB]$ , indem du den $x$ -Wert von $B$ von dem $x$ -Wert von $A$ subtrahierst.
  $\overline{AB}=x_A-x_B$
  Setze die Koordinaten von $A$ und $B$ ein.
  $\overline{AB}=4-(-3)\\=4+3=7$
  Antwort: Die Strecke $[AB]$ hat die Länge $7$ .
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3. $\sqrt{73}$ Längeneinheiten
  8 Längeneinheiten
  3 Längeneinheiten
  11 Längeneinheiten
  
  Längen im Koordinatensystem
  Lies die Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ aus dem Koordinatensystem ab.
  $A(6|5)$ und $B(-2|2)$
  Die Länge der Strecke $[AB]$ wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet. Die gesuchte Strecke ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.
  Berechne zunächst die Längen der Katheten. Beachte dabei, dass Kathete 1 parallel zur x-Achse und Kathete 2 parallel zur y-Achse ist.
  $\overline{\text{Kathete1}}= 6-(-2)=6+2=8$
  $\overline{\text{Kathete2}}= 5-2=3$
  Berechne nun die Länge der Strecke $[AB]$ mit dem Satz des Pythagoras.
  $(\overline{AB})^2=(\overline{\text{Kathete1}})^2+(\overline{\text{Kathete2}})^2$
  Setze die errechneten Längen der Katheten ein.
  $(\overline{AB})^2=8^2+3^2\\=64+9\\=73$
  Ziehe nun auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel
  $\overline{AB}=\sqrt{73}$
  Antwort: Die Strecke $[AB]$ hat die Länge $\sqrt{73}$ .
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Berechne die Längen der Strecken a,b,c und d
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Längen im Koordinatensystem
  In der Grafik sieht man, dass die Seiten c und d parallel zu den Achsen liegen.
  Da die Seite d parallel zur y-Achse ist, verwenden wir die Formel
  Die Seite c ist parallel zur x-Achse, also verwendet man die Formel
  Die Seiten a und b liegen nicht parallel zu den Achsen. Deshalb verwendet man Pythagoras, um die Längen zu berechnen.
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2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Längen im Koordinatensystem
  In der Grafik sieht man, dass die Seiten c und d parallel zu den Achsen liegen.
  Da die Seite d parallel zur y-Achse ist, verwenden wir die Formel
  Die Seite c ist parallel zur x-Achse, also verwendet man die Formel
  Die Seiten a und b liegen nicht parallel zu den Achsen. Deshalb verwendet man Pythagoras, um die Längen zu berechnen.
  $a=\overline{BC}=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}$
  $\phantom{a}=\sqrt{(2-4)^2 + (5-(-1))^2}= \sqrt{4+36}=2\sqrt{10}$
  $b=\overline{AC}=\sqrt{(x_C-x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}$
  $ \phantom{b}=\sqrt{(2-(-3)^2 + (5-(-1))^2}= \sqrt{25 + 36}=\sqrt{61}$
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