Aufgaben zum Volumen einer Kugel

Berechne mit den gegebenen Informationen das Volumen der Kugel.

Umfang $7\;\text{cm}$

Oberfläche $10\cm^2$

Der Durchmesser einer Murmel ist $42 \text{ mm}$ . Wie groß ist ihr Volumen? Runde auf ganze $\text{mm}^3$ .

mm³

Sandra ist mit ihren Freundinnen am Strand, und sie möchten mit dem Wasserball spielen.

Wie viel Liter Luft muss Sandra in den Ball blasen, damit er einen Durchmesser von $50\,\text{cm}$ hat?

Runde auf ganze $\text{cm}^3$ .

cm³

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$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle 2\cdot r\cdot\pi$	$\displaystyle :2\pi$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \frac{U}{2\pi}$
	↓	Setze $U=7\cm$ ein.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \frac{7\text{cm}\ }{2\cdot\pi}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 1{,}114\ \text{cm}\$

$\displaystyle O$	$=$	$\displaystyle 4r^2\pi$	$\displaystyle :4\pi$
$\displaystyle r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{O}{4\pi}$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Ziehe die Quadratwurzel. Da der Radius nur eine positive Zahl sein kann, kannst du das negative Ergebnis vernachlässigen.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{O}{4\pi}}$
	↓	Setze $O=10\cm^2$ ein.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{10\ \text{cm}^2}{4\pi}}$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 0{,}8921\;\text{cm}$

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}r^3\pi$
	↓	Das ist die Volumenformel der Kugel. Den Radius $r$ kannst du aus dem Durchmesser berechnen.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{d}{2}$
	↓	Jetzt kannst du den Radius in die Volumenformel einsetzen.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{42}{2}mm$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 21\ mm$
	↓	r = 21 mm in die Formel für V einsetzen.
$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}\cdot\left(21\ mm\right)^3\cdot\pi$
	↓	Wenn du das ausrechnest, erhältst du:
$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}\cdot9261\cdot\pi\cdot mm^3$
$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle 12348\cdot\pi\cdot mm^3$
$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle 38792{,}386...mm^3$
	↓	Zum Schluss rundest du noch.
$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle 38792mm^3$
	↓	Du kannst das Ergebnis auch in Kubikzentimeter ( $\text{cm}^3$ ) schreiben.
$\displaystyle V$	$\approx ≈$	$\displaystyle 38{,}792\ cm^3$

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}r^3\pi$
	↓	Das ist die Volumenformel der Kugel. Den Radius $r$ kannst du aus dem Durchmesser $d$ berechnen.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{d}{2}$
	↓	Jetzt kannst du den Radius in die Volumenformel einsetzen.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{50}{2}cm$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 25cm$
	↓	Wert in Formel von oben einsetzen
$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}\cdot\left(25cm\right)^3\cdot\pi$
	↓	ausrechnen
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}\cdot15625\ cm^3\cdot\pi$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{62500}{3}\cdot\pi\ cm^3$
	$=$	$\displaystyle 65449{,}846....cm^3$
	↓	Anschließend rundest du noch.
	$\approx ≈$	$\displaystyle 65450\ cm^3$
	↓	Zum Schluss rechnest du das Ergebnis in Kubikdezimenter (und damit in Liter) um.
	$=$	$\displaystyle 65{,}45\ dm^3$
	$=$	$\displaystyle 65{,}45\ l$

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