Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen
f(x)=x⋅cos(x)f(x)= x \cdot \cos(x)f(x)=x⋅cos(x)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
Produktregel:=(u(x)⋅v(x))′=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\text{Produktregel:}\phantom{=}&\left(\color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v(x)}\right)'=\color{darkblue}{u'(x)}\cdot \color{green}{v(x)} + \color{blue}{u(x)}\cdot \color{darkgreen}{v'(x)}\end{aligned}Produktregel:=(u(x)⋅v(x))′=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)
f(x)=x⋅cos(x)f′(x)=1⋅cos(x)+x⋅(−sin(x))=cos(x)−x⋅sin(x)\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &= \color{blue}{x} \cdot \color{green}{\cos(x)} \\ f'(x) &= \color{darkblue}{1} \cdot \color{green}{\cos(x)} + \color{blue}{x} \cdot \color{darkgreen}{(-\sin(x))} \\ &= \cos(x)-x\cdot\sin(x)\end{aligned}f(x)f′(x)=x⋅cos(x)=1⋅cos(x)+x⋅(−sin(x))=cos(x)−x⋅sin(x)
Kommentiere hier 👇
Produktregel:=(u(x)⋅v(x))′=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\text{Produktregel:}\phantom{=}&\left(\color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v(x)}\right)'=\color{blue}{u'(x)}\cdot \color{green}{v(x)} + \color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v'(x)}\end{aligned}Produktregel:=(u(x)⋅v(x))′=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)
f(x)=4x⋅(x3+2)f′(x)=4⋅(x3+2)+4x⋅3x2=4x3+8+12x3=16x3+8\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &= \color{blue}{4x} \cdot \color{green}{(x^3+2)} \\f'(x) &= \color{blue}{4} \cdot \color{green}{(x^3+2)}+\color{blue}{4x} \cdot \color{green}{3x^2} \\&=4x^3+8+12x^3 \\&=16x^3+8\end{aligned}f(x)f′(x)=4x⋅(x3+2)=4⋅(x3+2)+4x⋅3x2=4x3+8+12x3=16x3+8
Produktregel:=(u(x)⋅v(x))′=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\text{Produktregel:}\phantom{=}&\left(\color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v(x)}\right)' =\color{blue}{u'(x)}\cdot \color{green}{v(x)} + \color{blue}{u(x)}\cdot \color{green}{v'(x)}\end{aligned}Produktregel:=(u(x)⋅v(x))′=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)
f(x)=(12x2+2x)⋅(x−1)f′(x)=(x+2)⋅(x−1)+(12x2+2x)⋅1=x2−x+2x−2+12x2+2x=32x2+3x−2\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &= \color{blue}{\left(\frac12x^2+2x\right)} \cdot \color{green}{(x-1)} \\f'(x) &= \color{blue}{(x+2)} \cdot \color{green}{(x-1)}+ \color{blue}{\left(\frac12x^2+2x\right)} \cdot \color{green}{1} \\&=x^2-x+2x-2+\frac12x^2+2x \\&=\frac32x^2+3x-2\end{aligned}f(x)f′(x)=(21x2+2x)⋅(x−1)=(x+2)⋅(x−1)+(21x2+2x)⋅1=x2−x+2x−2+21x2+2x=23x2+3x−2
Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.