Zuerst bestimmen wir die Funktionen $v(x)v(x)$ und $u(x)u(x)$. Hier ist $v(x)=f(x)v(x)=f(x)$ und $u(x)=\ln (x)u(x)=\backslash ln(x)$. Wir wissen, dass $v^{\mathrm{\prime }}(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)v\text{'}(x)=f\text{'}(x)$ und $u^{\mathrm{\prime }}(x)=1\mathrm{/}xu\text{'}(x)=1/x$. Einsetzen ergibt

Wir verwenden die Formel aus a)

und formen nach $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ um. Dafür multiplizieren wir auf beiden Seiten der Formel mit $f(x)f(x)$ und erhalten

Nun setzen wir $f(x)=a^{x}f(x)=a^x$ ein. Jetzt erkennen wir, dass wir mit den Logarithmus-Regeln $\ln (a^x)=x\cdot \ln (a)\backslash ln(a^x)=x\; \backslash cdot\; \backslash ln(a)$ schreiben können. Damit folgt $(\ln (a^x){)}^{\mathrm{\prime }}=\ln (a)\backslash Big(\backslash ln(a^x)\backslash Big)\text{'}=\backslash ln(a)$. Das ergibt

Wie in b) erhalten wir für eine beliebige Funktion $f(x)f(x)$ die Formel

Jetzt setzen wir $f(x)=x^{x}f(x)=x^x$ ein. Mit den Logarithmusregeln folgt $\ln (f(x))=x\cdot \ln (x)\backslash ln(f(x))=x\; \backslash cdot\; \backslash ln(x)$. Also ist

Somit folgt