Zuerst bestimmen wir die Funktionen $v(x)$ und $u(x)$. Hier ist $v(x)=f(x)$ und $u(x)=\ln (x)$. Wir wissen, dass $v^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)$ und $u^{\prime }(x)=1/x$. Einsetzen ergibt

Wir verwenden die Formel aus a)

und formen nach $f^{\prime }(x)$ um. Dafür multiplizieren wir auf beiden Seiten der Formel mit $f(x)$ und erhalten

Nun setzen wir $f(x)=a^x$ ein. Jetzt erkennen wir, dass wir mit den Logarithmus-Regeln $\ln (a^x)=x\cdot \ln (a)$ schreiben können. Damit folgt $(\ln (a^x){)}^{\prime }=\ln (a)$. Das ergibt

Wie in b) erhalten wir für eine beliebige Funktion $f(x)$ die Formel

Jetzt setzen wir $f(x)=x^x$ ein. Mit den Logarithmusregeln folgt $\ln (f(x))=x\cdot \ln (x)$. Also ist

Somit folgt