Aufgaben zur Polynomdivision - lernen mit Serlo!

Ausgefallene Polynomdivisionen

Berechne:
$(x^{4} + \sqrt{3} x^{2} + 1) : (x^{2} - 1)$

Polynomdivision
Benutze das Verfahren der Polynomdivision um die Aufgabe zu lösen.
Die Koeffizienten der Polynome müssen nicht ganzzahlig sein. Es können auch Brüche oder gar irrationale Zahlen vorkommen. Das Verfahren der Polynomdivision wird dadurch nicht beeinflusst. Lediglich einzelne Rechenschritte gestalten sich teilweise unangenehmer.
$\begin{array}{l} (x^{4} + \sqrt{3} x^{2} + 1) : (x^{2} - 1) = x^{2} + (\sqrt{3} + 1) + \frac{\sqrt{3} + 2}{x^{2} - 1} \\ - (x^{4} - x^{2}) \\ (\sqrt{3} + 1) x^{2} + 1 \\ - [(\sqrt{3} + 1) x^{2} - (\sqrt{3} + 1)] \\ \sqrt{3} + 2 \end{array}$
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Berechne:
$(2 x^{4} + x^{2} - x - 1) : (x^{2} - 1) : (x^{2} + 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Polynomdivision
So wie die Aufgabe gestellt ist, hat man zwei Polynomdivisionen nacheinander durchzuführen. Dies kann man vermeiden und kommt mit einer Polynomdivision aus, wenn man die folgende Rechenregel für Divisionen anwendet:
$a : b : c = a : (b \cdot c)$
$(2 x^{4} + x^{2} - x - 1) : (x^{2} - 1) : (x^{2} + 1) = (2 x^{4} + x^{2} - x - 1) : [\underset{x^{4} - 1}{\underset{⏟}{(x^{2} - 1) \cdot (x^{2} + 1)}}]$
Führe die Polynomdivision durch.
$\begin{array}{l} (2 x^{4} + x^{2} - x - 1) : (x^{4} - 1) = 2 + \frac{x^{2} - x + 1}{x^{4} - 1} \\ - (2 x^{4} - 2) \\ x^{2} - x + 1 R e s t \end{array}$
Überprüfe, ob du zum gleichen Endergebnis kommst, wenn du - wie in der Aufgabenstellung - beide Divisionen nacheinander durchführst.
Die erste Division:
$\begin{array}{l} (2 x^{4} + x^{2} - x - 1) : (x^{2} - 1) = 2 x^{2} + 3 + \frac{- x + 2}{x^{2} - 1} \\ - (2 x^{4} - 2 x^{2}) \\ 3 x^{2} - x - 1 \\ - (3 x^{2} - 3) \\ - x + 2 R e s t \end{array}$
Die anschließende zweite und aufwändige Division:
$\begin{array}{ll} (2 x^{2} + 3 + \frac{- x + 2}{x^{2} - 1}) : (x^{2} + 1) & = 2 + \frac{(1 + \frac{- x + 2}{x^{2} - 1})}{x^{2} + 1} \\ - (2 x^{2} + 2) \\ 1 + \frac{- x + 2}{x^{2} + 1} R e s t \\ = 2 + \frac{\frac{x^{2} - 1 - x + 2}{x^{2} - 1}}{x^{2} + 1} \\ = 2 + \frac{x^{2} - x + 1}{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)} \\ = 2 + \frac{x^{2} - x + 1}{x^{4} - 1} \end{array}$
Die "doppelte" Polynomdivision führt am Ende zum gleichen Ergebnis.
Die Zweckmäßigkeit des geschickten Verwendens der Rechenregel
$a : b : c = a : (b \cdot c)$
ist aber ersichtlich.
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Berechne:
$(3 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 4) : (\sqrt{3} x - 2) : (\sqrt{3} x + 2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Polynomdivision
$(3 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 4) : (\sqrt{3} x - 2) : (\sqrt{3} x + 2)$
Benutze die Rechenregel
$a : b : c = a : (b \cdot c)$
um mit einer Polynomdivision auszukommen.
$\begin{array}{rcl} (3 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 4) : (\sqrt{3} x - 2) : (\sqrt{3} x + 2) \\ = (3 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 4) : [\underset{3 x^{2} - 4}{\underset{⏟}{(\sqrt{3} x - 2) \cdot (\sqrt{3} x + 2)}}] \end{array}$
Verwende den Divisor $3 x^{2} - 4$ für die Polynomdivision und führe die Polynomdivision durch.
$\begin{array}{l} (3 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 4) : (3 x^{2} - 4) = x + 1 \\ - (3 x^{3} - 4 x) \\ 3 x^{2} - 4 \\ - (3 x^{2} - 4) \\ 0 \end{array}$
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