Aufgaben zur Oberfläche - lernen mit Serlo!

Berechne die Oberfläche der Figuren

cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche eines Würfels
Oberfläche des Würfels
$\displaystyle O=a^2\cdot6$
Setze den Wert aus dem Bild ein.
$\displaystyle O=(7{,}5\,\mathrm{cm})^2\cdot6$
Rechne aus.
$\displaystyle O = 337{,}5\,\mathrm{cm}^2$
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Radius $6{,}75\,\mathrm{cm}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche einer Kugel
Oberfläche der Kugel
$\displaystyle O_K = 4 \cdot r^2 \cdot \pi$
Setze den Wert in die Formel ein.
$\displaystyle O_k= 4 \cdot (6{,}75\ \mathrm{cm})^2\cdot\pi$
Rechne aus
$\displaystyle O_k=4 \cdot 45{,}5625\ \mathrm{cm^2} \cdot \pi = 182{,}25 \ \mathrm{cm^2} \cdot \pi \approx 572{,}56 \mathrm{cm^2}$
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche einer Pyramide
Oberfläche der Pyramide
$\displaystyle O=G+M$
Die Grundfläche G ist ein Quadrat, die Mantelfläche sind 4 Dreiecke.
Berechne zuerst die Grundfläche
Grundfläche: Quadrat
Stelle die Formel für ein Quadrat auf.
$\displaystyle A_\text{Quadrat} = a^2$
Die Seitenlänge ist $4 \ \mathrm{cm}$ . Setze diesen Wert in die Formel ein.
$\displaystyle A_\text{Quadrat} = ( 4 \ \mathrm{cm})^2 = 16\ \mathrm{cm^2}$
Mantelfläche: Vier Dreiecke
Höhe der Seitenflächen
Die Dreiecke sind alle gleich, da die Grundfläche ein Quadrat ist.
Um die Seitenflächen zu berechnen benötigst du zuerst die Höhe der Dreiecke. Diese kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
$\displaystyle c^2 = a^2 + b^2$
a ist die Halbe Seitenlänge des Quadrats, b ist die Höhe der Pyramide.
$\displaystyle a = 4 \,\mathrm{cm} :2 =2\,\mathrm{cm}$
$\displaystyle b = 5 \ \mathrm{cm}$
Setze die Werte ein.
$\displaystyle c^2 = (2\ \mathrm{cm})^2 + (5\ \mathrm{cm})^2 = 4 \mathrm{cm^2}+ 25\mathrm{cm^2} = 29\mathrm{cm^2}$
Ziehe die Wurzel um die Höhe des Dreiecks zu erhalten.
$\displaystyle \Rightarrow c = \sqrt{29\ \mathrm{cm^2}} \approx 5{,}4\ \mathrm{cm}$
Berechne damit nun die Seitenflächen.
Seitenfläche
Stelle die Formel für ein Dreieck auf.
$\displaystyle A = \frac12 \cdot g \cdot h$
Setze die Werte ein.
$\displaystyle A = \frac12 \cdot 4\ \mathrm{cm} \cdot 5{,}4\ \mathrm{cm} = 10{,}8 \mathrm{cm^2}$
Mantelfläche
$\displaystyle M = 4 \cdot A = 4 \cdot 10{,}8\ \mathrm{cm^2} = 43{,}2 \ \mathrm{cm^2}$
Oberfläche der Pyramide
Berechne nun die Oberfläche der Pyramide, indem du Grundfläche und Mantelfläche addierst.
$\displaystyle O=G + M = 16\ \mathrm{cm^2} +43{,}2\ \mathrm{cm^2} = 59{,}2\ \mathrm{cm^2}$
Lösung: Die Oberfläche der Pyramide ist $59{,}2\ \mathrm{cm^2}$
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