Inhalt

In diesem Kurs lernst du, was eine Lösungsmenge ist, wie viele Lösungen es bei einem Linearen Gleichungssystem (LGS) geben kann und welche weiteren Lösungsverfahren es neben dem Gleichsetzungsverfahren noch gibt.

Vorkenntnisse

Du solltest schon wissen, was ein Schnittpunkt ist und wie man ihn sowohl graphisch als auch rechnerisch bestimmt. Außerdem musst du für diesen Kurs wissen, was ein LGS ist.

Falls du etwas davon noch nicht weißt, schau dir doch zuerst den ersten Teil des Einführungskurses zu linearen Gleichungssystemen an.

Kursdauer

Dieser Kurs dauert ca. 2 Stunden.

Ihr Vater sagt:

"Wenn du mein Alter verdoppelst und zu dem Alter deiner Mutter die Hälfte ihres Alters dazu addierst, ergibt das zusammen 150 Jahre."

Das hat Tina nicht sonderlich geholfen.

Ihre Mutter sagt:

"Wenn du zu meinem Alter drei Jahre dazu rechnest und von dem deines Vaters zwei Jahre abziehst, sind wir gleich alt!"

Tina nimmt zur Zeit in der Schule Gleichungssysteme durch und will nun versuchen, damit das Alter der Eltern zu ermitteln. Sie rennt los und holt Stift und Block. Jetzt kann sie ausrechnen, wie alt ihre Eltern sind. Probier's doch mal selbst!

Um das Alter von Tinas Eltern zu erfahren, ist es nützlich, dass du dir das LGS und das Gleichsetzungsverfahren ins Gedächtnis rufst.

Was ist ein LGS?

Ein lineares Gleichungssystem hatte bisher oft zwei Gleichungen der Form $y=mx+t$, mit den Unbekannten $x$ und $y$.

Die Lösung des LGS hast du als Schnittpunkt dieser Geraden kennengelernt.

Lösung mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens

Die Anwendung des Gleichsetzungsverfahrens ist bereits in seinem Namen versteckt. Das Stichwort ist das Gleichsetzen von Gleichungen. Dafür musst du wie folgt vorgehen:

1. Löse die Gleichungen des Gleichungssystems jeweils nach derselben Unbekannten auf.

2. Setze die Gleichungen gleich.

3. Löse die entstandene Gleichung nach der verbliebenen Unbekannten auf.

4. Setze diese Variable in eine der ursprünglichen Gleichungen ein.

Tinas Eltern haben ihr gute Hinweise gegeben, um zwei Gleichungen aufzustellen.

Vater: "Wenn du mein Alter verdoppelst und zu dem Alter deiner Mutter die Hälfte ihres Alters dazu addierst, ergibt das zusammen 150 Jahre."

Zunächst legt Tina die Variablen fest.

• $m\widehat{=}$ Alter der Mutter

• $v\widehat{=}$ Alter des Vaters

Aus der Aussage des Vaters bekommt Tina die erste Gleichung:

• Verdopple das Alter des Vaters: $2v$

• Zähle zu dem Alter der Mutter die Hälfte dazu: $m+\mathrm{0,5}m=\mathrm{1,5}m$

Mutter:"Wenn du zu meinem Alter drei Jahre dazu rechnest und von dem deines Vaters zwei Jahre abziehst, sind wir gleich alt!"

• Zu dem Alter der Mutter $3$ addieren:$m+3$

• Vom Alter des Vaters $2$ abziehen: $v-2$

Mit Geraden haben die beiden Gleichungen von Tinas Eltern nicht mehr viel zu tun!

Auch wenn du sie so umformen kannst, dass man sie zeichnen kann, ist das im Sachzusammenhang nicht sehr anschaulich.

Deshalb gibt man die Lösung bei vielen Aufgaben nicht als Schnittpunkt, sondern mit einem Antwortsatz und/oder als Lösungsmenge an:

Hat man zum Beispiel ein System, das für die Werte $a=4$ und $b=15$ gelöst wird, so schreibst du:

Wenn du die Variablen nach dem Alphabet sortierst, kannst du auch die letzte Schreibweise, die Kurzschreibweise, verwenden.

Wenn du ein lineares Gleichungssystem löst, können $3$ Fälle auftreten:

1. Du stößt bei der Berechnung der Lösung auf eine falsche Aussage (z. B. $5=3$).

• Du stellst beim Umformen fest, dass die Gleichungen identisch sind. Es ergibt sich eine Aussage, die wahr ist, egal welche Zahl du einsetzt (z. B. $x=x$).

• Beim Berechnen der Lösung erhältst du für die Gleichungen des Systems eine eindeutige Variablenbelegung (z. B. $x=5$ und $y=7$). Dies ist der bereits bekannte Normalfall!

Panik! Was tun bei 1. und 2.?

Keine Sorge! Auch lineare Gleichungssysteme können nicht immer perfekt sein. :-) Es gibt $3$ Arten von Systemen: Welche mit $keiner$, $genaueiner$ oder $unendlichvielen$ Lösungen.

Wie findet man heraus, welche Art von Gleichungssystem es ist?

Die drei verschiedenen Arten von Gleichungssystemen werden anhand von Beispielen erklärt.

In der Grafik siehst du zwei parallele Geraden. Dies kannst du auch daran erkennen, dass sie dieselbe Steigung, nämlich $\frac{3}{4}$, aber unterschiedliche $y$-Achsenabschnitte haben. Die Geraden schneiden sich nie, es gibt also keine Lösung. In diesem Fall ist die Lösungsmenge die leere Menge: $𝕃=\{\}$ oder $𝕃=⌀$.

Anhand der Grafik kannst du erkennen, dass die Geraden sich in einem Schnittpunkt kreuzen. Dies ist immer der Fall, wenn beide Geraden unterschiedliche Steigungen haben. Es gibt also genau eine Lösung. Die Lösungsmenge hier ist einfach wieder dein Zahlenpaar $𝕃=\{(x|y)\}$.

Formst du beide Gleichungen um, erkennst du, dass beide Geraden dieselbe Steigung und denselben $y$-Achsenabschnitt haben. Sie sind also identisch. Jeder Punkt auf den Geraden ist ein Schnittpunkt. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Die Lösungsmenge hier ist der Sonderfall, nämlich: $𝕃=\{(x|y)|y={\displaystyle \frac{3}{4}}x+{\displaystyle \frac{1}{5}}\}$, also alle Zahlenpaare $(x|y)$ mit der Eigenschaft, dass sie die Gleichung $y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{5}$ erfüllen.

Im ersten Teil des Einführungskurses hast du bereits gelernt, wie man ein lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellt und es mit dem Gleichsetzungsverfahren löst. Es gibt allerdings auch andere Verfahren zur Lösung eines LGS!

Das Einsetzungsverfahren ist sehr ähnlich zum Gleichsetzungsverfahren.

Warum benutzt man das?

Ganz einfach, es ist weniger Arbeit als das Gleichsetzungsverfahren!

Wie geht das?

Beim Einsetzungsverfahren geht man so vor:

1. Nur eine der beiden Gleichungen nach einer der beiden Variablen auflösen.

2. Die Variable, nach der du aufgelöst hast, in die andere der beiden Gleichungen einsetzen.

3. Du erhältst einen Wert, den du wiederum in eine der Gleichungen einsetzt. Schon hast du die Lösung.

Klingt kompliziert? Ist es aber nicht! So sieht das aus:

Schaue dir nun die Gleichungen an, die das Alter von Tinas Vater und Mutter liefern.

Löse die Aufgabe mit dem Einsetzungsverfahren:

$\begin{array}{lccclll}\mathrm{I}& 2v& +& \mathrm{1,5}m& =& 150& \\ \mathrm{II}& m& +& 3& =& v-2& \end{array}$

1. Schritt: Gleichung $\mathrm{II}$ auflösen

Welche Gleichung du nach welcher Unbekannten auflöst, ist teils "scharfer Blick", teils Geschmackssache! Hier wird die Gleichung $\mathrm{II}$ nach $v$ aufgelöst.

$\begin{array}{lrcll}\mathrm{II}& m+3& =& v-2& |+2\\ {\mathrm{II}}^{\prime }& v& =& m+5& \end{array}$

2. Schritt: Setze ${\mathrm{II}}^{\prime }$ in $\mathrm{I}$ ein

$\begin{array}{rrll}\mathrm{I}& 2(m+5)+\mathrm{1,5}m& =& 150\\ \mathrm{I}& 2m+10+\mathrm{1,5}m& =& 150\\ \mathrm{I}& \mathrm{3,5}m+10& =& 150& |-10\\ \mathrm{I}& \mathrm{3,5}m& =& 140& |:\mathrm{3,5}\\ \mathrm{I}& m& =& 40\end{array}$

3. Schritt: Setze m in ${\mathrm{II}}^{\prime }$ ein

$\begin{array}{rrll}{\mathrm{II}}^{\prime }& v& =& 40+5\\ {\mathrm{II}}^{\prime }& v& =& 45\end{array}$

Tina weiß nun dank dir, wie alt ihre Eltern sind. Ihre Mutter ist $40$ Jahre alt und ihr Vater $45$. Dies kannst du auch formal als Lösungsmenge aufschreiben:

$𝕃=\{(m|v)=(40|45)\}$.

Du kannst eine Gleichung mit einer anderen addieren. Aus diesen beiden entsteht eine neue Gleichung.

Du kannst auf die gleiche Art und Weise auch zwei Gleichungen voneinander subtrahieren.

Was passiert bei der Addition/Subtraktion von Gleichungen?

Bei der Addition/Subtraktion von Gleichungen addierst/ subtrahierst du zwei Gleichungen, aus denen eine neue Gleichung wird.

Wie bleibt allerdings die Gleichheit erhalten?

Lass dich davon nicht irritieren, dass du statt wie gewohnt Zahlen, zwei Gleichungen addieren/subtrahieren musst! Betrachte hierfür die linke und rechte Seite jeder Gleichung als einen zusammenhängenden Teil. Du gehst wie folgt vor:

1. Addiere/Subtrahiere die jeweiligen linken Seiten der zwei Gleichungen und fasse das Ergebnis anschließend zusammen.

2. Addiere/Subtrahiere die jeweiligen rechten Seiten der zwei Gleichungen und fasse das Ergebnis anschließend zusammen.

3. Setze $=$ zwischen der neuen linken und rechten Seite der neu entstandenen Gleichung. Die Gleichheit ist erhalten.

Es empfiehlt sich, die Gleichungen zuvor "aufzuräumen". Das heißt zum Beispiel alle Variablen (mit ihren Koeffizienten) auf die linken Seiten der Gleichungen und alle Zahlen ohne Variablen auf die rechten Seiten zu bringen.

Schwuppdiwupp hast du ganz leicht zwei Gleichungen addiert/subtrahiert, sodass daraus eine neue Gleichung entstanden ist!

Wie du diese neue Erkenntnis zur Lösung von LGS anwenden kannst, siehst du auf der nächsten Seite.

Die dritte Methode zur Lösung von LGS ist das Additions-/Subtraktionsverfahren.

Ziel dieses Verfahrens ist, eine Variable zu entfernen, indem man die Gleichungen des LGS geschickt addiert/subtrahiert.

0. Schritt: Aufräumen der Gleichungen und Auswahl der Variablen

Bringe zunächst bei deinen Gleichungen alle Unbekannten (mit ihren Koeffizienten) auf die gleiche Seite. Betrachte die Gleichungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ mit einem scharfen Blick. Ist zum Beispiel eine der Variablen in der ersten Gleichung ein ganzzahliges Vielfaches von sich selbst in der zweiten Gleichung? Wähle dann diese Variable aus.

1. Schritt: Vervielfachen der Gleichungen

In jedem Fall musst du die Gleichungen $\mathrm{I}$ und/oder $\mathrm{II}$ so multiplizieren/dividieren, dass die Koeffizienten der ausgewählten Variablen gleich sind (am besten dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen entsprechend). Hierbei musst du nicht auf das Vorzeichen achten, sondern nur auf die Zahl.

2. Schritt: Entfernung einer Variablen durch Addition/Subtraktion

Fall 1: Addition der Gleichungen

Die ausgewählte Variable ist einmal mit positivem Vorzeichen und einmal mit negativem Vorzeichen in den Gleichungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ enthalten.

Addiere nun die beiden Gleichungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ wie bereits gelernt.

Fall 2: Subtraktion der Gleichungen

Die ausgewählte Variable ist zweimal mit demselben Vorzeichen in den Gleichungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ enthalten.

Subtrahiere nun die beiden Gleichungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ wie bereits gelernt.

3. Schritt: Werte der beiden Variablen bestimmen

Die neu entstandene Gleichung enthält nur noch eine Variable. Löse danach auf und finde ihren Wert heraus. Indem du nun diesen Wert in eine der beiden Gleichungen $\mathrm{I}$ oder $\mathrm{II}$ einsetzt, bestimmst du den Zahlenwert der anderen Variablen.

Das Geburtstagsbeispiel wird nun auch mit dem Additions-/Subtraktionsverfahren gelöst. Das lineare Gleichungssystem dieses Problems hast du im Kurs schon gesehen:

$\begin{array}{lrrlrr}\mathrm{I}& 2v& +& \mathrm{1,5}m& =& 150\\ \mathrm{II}& m& +& 3& =& v& -& 2\end{array}$

0. Schritt: Aufräumen der Gleichung und Auswahl einer Variablen

Jetzt sind die Gleichungen aufgeräumt und du musst eine der Variablen auswählen. Dafür gibt es keine Regel.Es ist wichtig, die Variable so auszuwählen, dass die nächsten Schritte möglichst einfach sind. Du weißt: Übung macht den Meister!

Multiplizieren ist meistens einfacher als dividieren, deswegen wurde sich hier für die Variable $v$ entschieden.

In der Gleichung $\mathrm{I}$ steht$:2\cdot v$ In der Gleichung $\mathrm{II}$ steht$:1\cdot v$

Man muss also $\mathrm{II}\cdot 2$ rechnen.

1. Schritt: Vervielfachen der Gleichung $\mathrm{II}$

$\begin{array}{lcccccll}\mathrm{II}& -v& +& m& =& -5& & |\cdot 2\\ {\mathrm{II}}^{\prime }& -2v& +& 2m& =& -10& & \end{array}$

2. Schritt: Entfernung einer Variablen

$\begin{array}{lrcccl}\mathrm{I}& 2v& +& \mathrm{1,5}m& =& 150\\ \mathrm{II}& -2v& +& 2m& =& -10\end{array}$

Jetzt stehen bei beiden Gleichungen sowohl die Unbekannten als auch die Zahlen untereinander.

Die Vorzeichen von $v$ sind unterschiedlich, also addierst du die Gleichungen.

3. Schritt: Werte der beiden Variablen bestimmen

Löse zunächst die Gleichung aus Schritt 2 auf

$\begin{array}{rrcl}0+\mathrm{3,5}m& =& 140& |:\mathrm{3,5}\\ m& =& 40& \end{array}$

Setze $m$ in eine der beiden Gleichungen ein

Zum Beispiel $m$ eingesetzt in $\mathrm{II}$:

$\begin{array}{rcl}v-2& =& 40+3\\ v-2& =& 43& |+2\\ v& =& 45\end{array}$

Erneut gilt also: Die Mutter ist 40 Jahre alt, der Vater 45 Jahre!

$𝕃=\{(m|v)=(40|45)\}$.

Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren ist sinnvoll, wenn bereits beide Gleichungen nach der gleichen Variablen aufgelöst sind oder du beide Gleichungen leicht nach der gleichen Variablen auflösen kannst.

Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren ist sinnvoll, wenn bereits eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst ist oder leicht nach einer Variablen aufgelöst werden kann. Du kannst sie somit leicht in die andere Gleichung einsetzen.

Additions-/Subtraktionsverfahren

Das Additions-/Subtraktionsverfahren solltest du benutzen, wenn in beiden Gleichungen die gleiche Variable mit dem gleichen Koeffizienten vorliegt (z. B. in beiden Gleichungen $2y$). Anhand des Vorzeichens entscheidest du, ob du addieren oder subtrahieren musst.

Lösungsmenge

$𝕃=\{(a|b)=(\dots |\dots )\}$

Anzahl der Lösungen

Ein lineares Gleichungssystem kann keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben.

Wdh: Gleichsetzungsverfahren

0. Schritt: Auflösen beider Gleichungen nach einer Variablen. 1. Schritt: Gleichsetzen der beiden anderen Seiten. 2. Schritt: Auflösen nach der verbliebenen Unbekannten. 3. Schritt: Erhaltenen Wert in eine der Gleichungen einsetzen.

Einsetzungsverfahren

1. Schritt: Auflösen einer Gleichung nach einer Variablen. 2. Schritt: Einsetzen in die andere Gleichung. 3. Schritt: Erhaltenen Wert in eine der Gleichungen einsetzen.

Additions-/Subtraktionsverfahren

0. Schritt: Aufräumen der Gleichung und Auswahl einer Variablen. 1. Schritt: Vervielfachung der Gleichungen. 2. Schritt: Entfernung der Variablen. 3. Schritt: Bestimmung der Werte.