In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte , und das gleichseitige Dreieck fest.
a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Dreieck liegt, in Normalform. (4 BE)
Spiegelt man die Punkte , und am Symmetriezentrum , so erhält man die Punkte , bzw. .
b) Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte , und liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke senkrecht auf diese Ebene steht. (3 BE)
c) Begründen Sie, dass das Viereck ein Quadrat mit der Seitenlänge ist. (4 BE)
Der Körper ist ein sogenanntesOktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mitdem Quadrat als gemeinsamer Grundflächeund den Pyramidenspitzen bzw. .
d) Weisen Sie nach, dass das Oktaederdas Volumen besitzt. (2 BE)
e) Bestimmen Sie die Größe des Winkelszwischen den Seitenflächen und. (4 BE)
f) Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Geben Sie eineGleichung dieser Kugel an.
Berechnen Sie den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen. (3 BE)
Lösung zur Teilaufgabe a)
Zwischenschritt: Gib die Ebene in Parameterform an
Die - und -Koordinate des Normalenvektors sind 0.
Die Ebene erstreckt sich deshalb nicht in -Richtung.
Sie ist parallel zur -Ebene im Abstand , da die -Koordinate bei allen drei Punkten lautet.
senkrecht auf der Ebene durch
ist zweimal der Vektor , da der Spiegelpunkt ist.
Also kann man statt du zeigen, dass senkrecht auf der Ebene steht, genauso gut zeigen, dass senkrecht auf der Ebene steht, da sie beide die gleiche Richtung haben.
Stelle auf.
Vergleiche mit dem Normalenverktor der Ebene, denn dieser steht senkrecht auf .
Die Vektoren sind linear abhängig, deshalb steht senkrecht auf .
Die Seiten sind gleich lang!
Um auszuschließen, dass es sich nur um eine Raute aber nicht um ein Quadrat handelt, berechne den das Skalarprodukt zum Nachweis eines rechten Winkels.
Somit ist ein Quadrat.
Lösung zur Teilaufgabe d)
Bekannt
ist ein Quadrat mit Seitenlänge .
ist der Mittelpunkt dieses Quadrats, da er das Spiegelzentrum ist.
