Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 1

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte $A (6 ∣ 3 ∣ 3)$ , $B (3 ∣ 6 ∣ 3)$ und $C (3 ∣ 3 ∣ 6)$ das gleichseitige Dreieck $A B C$ fest.

a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Dreieck $A B C$ liegt, in Normalform. (4 BE)

Spiegelt man die Punkte $A$ , $B$ und $C$ am Symmetriezentrum $Z (3 ∣ 3 ∣ 3)$ , so erhält man die Punkte $A^{'}$ , $B^{'}$ bzw. $C^{'}$ .

b) Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte $A$ , $B$ und $Z$ liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke $[C C^{'}]$ senkrecht auf diese Ebene steht. (3 BE)

c) Begründen Sie, dass das Viereck $A B A^{'} B^{'}$ ein Quadrat mit der Seitenlänge $3\sqrt 2$ ist. (4 BE)

Der Körper $A B A^{'} B^{'} C C^{'}$ ist ein sogenanntesOktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mitdem Quadrat $A B A^{'} B^{'}$ als gemeinsamer Grundflächeund den Pyramidenspitzen $C$ bzw. $C^{'}$ .

d) Weisen Sie nach, dass das Oktaederdas Volumen $36\ VE$ besitzt. (2 BE)

e) Bestimmen Sie die Größe des Winkelszwischen den Seitenflächen $A B C$ und $A C^{'} B$ . (4 BE)

f) Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Geben Sie eineGleichung dieser Kugel an. Berechnen Sie den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen. (3 BE)

Lösung zur Teilaufgabe a)

Zwischenschritt: Gib die Ebene in Parameterform an

$A (6 ∣ 3 ∣ 3)$ , $B (3 ∣ 6 ∣ 3)$ , $C (3 ∣ 3 ∣ 6)$

Stelle zwei Richtungsvektoren der Ebene $E$ auf.

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 3-6\\6-3\\3-3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3\\3\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} 3-6\\3-3\\6-3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3\\0\\3\end{pmatrix}$

Schreibe (optional) in der Parameterform.

$E: \overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+ \lambda\cdot \overrightarrow{AB} + \mu\cdot \overrightarrow{AC}$

$E: \overrightarrow{X}=\begin{pmatrix} 6\\3\\3\end{pmatrix}+ \lambda\cdot \begin{pmatrix} -3\\3\\0\end{pmatrix} + \mu\cdot \begin{pmatrix} -3\\0\\3\end{pmatrix}$

Umrechnen in Normalenform

$\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} -3\\3\\0\end{pmatrix},\ \overrightarrow{AC}= \begin{pmatrix} -3\\0\\3\end{pmatrix}$

Bilde das Vektorprodukt, um den Normalenvektor zu erhalten. Kürze soweit wie möglich.

$\begin{pmatrix} -3\\3\\0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -3\\0\\3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 9\\9\\9\end{pmatrix}=9\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}$ $\Rightarrow \overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}$

Setze in die Vektordarstellung der Normalenform ein.

$E: \overrightarrow{n}\circ \left [\overrightarrow{X}-\overrightarrow{A}\right ]=0$

$\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}\circ \left [ \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6\\3\\3\end{pmatrix}\right ]=0$

Rechne aus.

$E : (x_{1} - 6) + (x_{2} - 3) + (x_{3} - 3) = 0$

$E : x_{1} + x_{2} + x_{3} - 12 = 0$

Lösung zur Teilaufgabe b)

Lage der Ebene

Hinweis: Du musst zur Beantwortung dieser Frage nicht zwingend die Ebenengleichung aufstellen!

Möglichkeit 1: Über die Koordinaten

$A (6 ∣ 3 ∣ 3)$ , $B (3 ∣ 6 ∣ 3)$ , $Z (3 ∣ 3 ∣ 3)$

Schau dir die $x_{3}$ -Koordinaten der drei Punkte an. Sie sind alle identisch, also auf gleicher Höhe! Sie befinden sich alle $3$ Einheiten über der $x_{1}, x_{2}$ -Ebene.

Die Ebene muss somit parallel zur $x_{1}, x_{2}$ -Ebene mit Abstand $3$ sein.

Möglichkeit 2: Über den Normalenvektor

$A (6 ∣ 3 ∣ 3)$ , $B (3 ∣ 6 ∣ 3)$ , $Z (3 ∣ 3 ∣ 3)$

Bilde zwei Richtungsvektoren aus den drei Punkten.

$\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} -3\\3\\0\end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{AZ}=\begin{pmatrix} -3\\0\\0\end{pmatrix}$

Bilde das Vektorprodukt.

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AZ}= \begin{pmatrix}0\\0\\9\end{pmatrix}$

Die $x_{1}$ - und $x_{2}$ -Koordinate des Normalenvektors sind 0. Die Ebene erstreckt sich deshalb nicht in $x_{3}$ -Richtung. Sie ist parallel zur $x_{1}, x_{2}$ -Ebene im Abstand $3$ , da die $x_{3}$ -Koordinate bei allen drei Punkten $3$ lautet.

$\overline{C'C}$ senkrecht auf der Ebene durch $A B Z$

$\overrightarrow{C'C}$ ist zweimal der Vektor $\overrightarrow{ZC}%$ , da $Z$ der Spiegelpunkt ist.

Also kann man statt du zeigen, dass $\overrightarrow{C'C}$ senkrecht auf der Ebene steht, genauso gut zeigen, dass $\overrightarrow{ZC}$ senkrecht auf der Ebene steht, da sie beide die gleiche Richtung haben.

Stelle $\overrightarrow{ZC}$ auf.

$\overrightarrow{ZC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{Z}=\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}$

Vergleiche mit dem Normalenverktor der Ebene, denn dieser steht senkrecht auf $E$ .

$-6\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0\\-6\end{pmatrix}$

Die Vektoren sind linear abhängig, deshalb steht $\overrightarrow{CC'}$ senkrecht auf $E$ .

Lösung zur Teilaufgabe c)

Bestimme $A^{'}$ und $B^{'}$

$A (6 ∣ 3 ∣ 3)$ , $B (3 ∣ 6 ∣ 3), Z (3 ∣ 3 ∣ 3)$

Bilde die Vektoren $\overrightarrow{AZ}$ und $\overrightarrow{BZ}$ .

$\overrightarrow{AZ}=\begin{pmatrix} -3\\0\\0\end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{BZ}=\begin{pmatrix} 0\\-3\\0\end{pmatrix}$

Um zu spiegeln, setze die Vektoren $\overrightarrow{AZ}$ und $\overrightarrow{BZ}$ an den Punkt $Z$ .

$\overrightarrow{A'}=\overrightarrow{Z} + \overrightarrow{AZ}= \begin{pmatrix} 3\\3\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3 \\0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\3\\3\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{B'}=\overrightarrow{Z} + \overrightarrow{BZ}= \begin{pmatrix} 3\\3\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\-3\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\0\\3\end{pmatrix}$

Berechne die Seitenlängen des Quadrats

$A (6 ∣ 3 ∣ 3)$ , $B (3 ∣ 6 ∣ 3)$

$A^{'} (0 ∣ 3 ∣ 3)$ , $B^{'} (3 ∣ 0 ∣ 3)$

Ein Quadrat ist festgelegt durch zwei benachbarte, gleich lange Seiten und einen rechten Winkel zwischen diesen. Verwende $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AB'}$ .

$\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} -3\\3\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AB'}=\begin{pmatrix} 3-6\\0-3\\3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\-3\\0\end{pmatrix}$

Berechne die Längen der Vektoren.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}\overline{AB} &= &\sqrt{(-3)^2+3^2+0^2} \\&= &\color{#CC0000}{\sqrt{18}} = \color{#CC0000}{3\sqrt{2}} \\\overline{AB'} &= &\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+0^2} \\&= &\color{#CC0000}{\sqrt{18}}=\color{#CC0000}{3\sqrt{2}}\\\qquad\end{array}$

Die Seiten sind gleich lang! Um auszuschließen, dass es sich nur um eine Raute aber nicht um ein Quadrat handelt, berechne den das Skalarprodukt zum Nachweis eines rechten Winkels.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AB'} &= &0 \\-3\cdot (-3)+3\cdot (-3)+0\cdot 0 &= &0 \\0 &= &0 \Rightarrow \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AB'}\end{array}$

Somit ist $A B A^{'} B^{'}$ ein Quadrat.

Lösung zur Teilaufgabe d)

Bekannt

$A B A^{'} B^{'}$ ist ein Quadrat mit Seitenlänge $3\sqrt 2$ .
$Z$ ist der Mittelpunkt dieses Quadrats, da er das Spiegelzentrum ist.
$\overline{ZC}$ ist die Höhe der Pyramide $A B A^{'} B^{'} C$ .

Volumenformel einer Pyramide: $V= \frac{1}{3}Gh$

Berechne ihre Grundfläche.

$G=(3\sqrt 2)^2=18$

Berechne die Höhe $\overline{ZC}$ .

$\overrightarrow{ZC}= \begin{pmatrix} 0\\0\\3\end{pmatrix}$

Setze in die Formel ein.

$\overline{ZC}=\sqrt{0^2+0^2+3^2}=3$

$V = \frac{1}{3}\cdot 18\cdot 3 = 18$

Verdopple das Pyramidenvolumen, um das Volumen eines Oktaeders zu erhalten.

$V_{Oktaeder} = 2\cdot 18 = 36$

Das Volumen des Oktaeders beträgt $36$ .

Lösung zur Teilaufgabe e)

Die Dreiecke $A B C$ und $A C^{'} B$ liegen in eindeutig festgelegten Ebenen. Berechne den Winkel zwischen diesen beiden Ebenen.

Berechne die Normalenvektoren der Ebenen

Ebene $E$ durch $A B C$ aus Teilaufgabe a):

$E : x_{1} + x_{2} + x_{3} - 12 = 0$

$\overrightarrow{n_E}=\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}$

Ebene $F$ durch $A C^{'} B$ :

$A (6 ∣ 3 ∣ 3)$ , $B (3 ∣ 6 ∣ 3)$ , $C^{'} (3 ∣ 3 ∣ 0)$

Stelle die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC'}$ auf.

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 3-6\\6-3\\3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\3\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AC'}=\begin{pmatrix} 3-6\\3-3\\0-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\0\\-3\end{pmatrix}$

Bilde das Vektorprodukt.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\begin{pmatrix} -3\\3\\0 \end{pmatrix}&\times&\begin{pmatrix} -3\\0\\-3\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -9\\-9\\9\end{pmatrix} &=& -9\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-1\end{pmatrix}\\ \Rightarrow\overrightarrow{n_F}&=&\begin{pmatrix} -1\\-1\\1\end{pmatrix}\end{array}$

Berechne den Winkel mit

$cos(\alpha)=\frac{\overrightarrow{n_E}\circ\overrightarrow{n_F}}{|\overrightarrow{n_E}| \cdot |\overrightarrow{n_F}|}$ .

$cos(\alpha)=\frac{1\cdot (-1)+1\cdot (-1)+1 \cdot 1}{\sqrt{\vphantom{(-1)^2}1^2+1^2+1^2} \cdot \sqrt{(-1)^2+(-1)^2+1^2}}=-\frac{1}{3}$

$\Rightarrow\alpha =109{,}47^\circ$

Der Winkel beträgt also $109{,}47^\circ$ .

Lösung zur Teilaufgabe f)

Da $A^{'}$ , $B^{'}$ und $C^{'}$ durch Spiegelung an $Z$ entstanden sind und $A B A^{'} B^{'}$ ein Quadrat ist, ist $Z$ der Mittelpunkt der Kugel.

Der Radius ist dann die Länge aller Vektoren, die von $Z$ ausgehen. Nehme zum Beispiel $\overrightarrow{ZC}$ , von dem du bereits weißt, dass er $3\ LE$ lang ist.

Kugelgleichung

$Z (3 ∣ 3 ∣ 3)$ , $r = 3$

Stelle die Kugelgleichung auf.

$K : (x_{1} - m_{1})^{2} + (x_{2} - m_{2})^{2} + (x_{3} - m_{3})^{2} = r^{2}$

$K : (x_{1} - 3)^{2} + (x_{2} - 3)^{2} + (x_{3} - 3)^{2} = 3^{2}$

Kugelvolumen

$r = 3$

Setze in die Formel für das Kugelvolumen ein.

$V=\frac{4}{3}r^3\pi$ $V=\frac{4}{3}\cdot 3^3\pi$ $V=36\pi \ VE=113{,}10 \ VE$

Berechne den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen

$\frac{36}{36\pi}=\frac1\pi\approx 0{,}318\approx 31{,}8\%$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?