Aufgaben zum Kegel - lernen mit Serlo!

Betrachte den geraden Kegel. Der Radius der Grundfläche ist $r = 3$ und der Winkel $\varphi$ ist $60 °$ .

Berechne das Volumen des Kegels.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
Die gesuchte Formel lautet:
$\displaystyle V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot h$
Überleg dir nun, welche der Variablen in der Aufgabe gegeben sind und welche du noch suchst.
gegeben:
$r = 3$
$\varphi = 60°$
gesucht:
$V$ , $h$
Das Volumen V kannst du erst ausrechnen, wenn du die Höhe h gefunden hast.
Berechnen der Höhe h
Die Höhe des Kegels erhältst du durch einen Querschnitt durch den Mittelpunkt $M$ und die Spitze $S$ . Dieser sieht folgendermaßen aus:
Dieses Dreieck kannst du nun halbieren, so dass du ein rechtwinkliges Dreieck erhältst.
In diesem Dreieck kennst du die Strecke $r$ (Gegenkathete von $\frac{\varphi}{2}$ ).
Die gesuchte Größe ist die Höhe $h$ . Diese ist die Ankathete von $\frac{\varphi}{2}$ .
Du kannst $h$ mithilfe einer trigonomischen Funktion (Sinus, Kosinus oder Tangens) ausrechnen.
$tan\left(\frac{\varphi}{2} \right)=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac rh$
Du kannst den Tangens von $\frac{\varphi}{2}$ benutzen um auf $h$ zu kommen. Anschließend musst du die Formel nach $h$ umstellen.
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcll} \tan\left(\frac{\varphi}{2} \right)&=&\frac rh &| \cdot h \\ \tan\left(\frac{\varphi}{2} \right) \cdot h &=& r &|: \tan\left(\frac{\varphi}{2} \right)\\ h &=& \dfrac{r}{tan\left(\frac{\varphi}{2} \right)} \end{array}$
(Beachte: Diese Umformungen sind nur gültig, wenn $tan\left( \frac{\varphi}{2} \right)\not= 0$ ist. Das ist in unserem Fall mit $\varphi = 60°$ der Fall.)
Setze die Werte ein und berechne die Höhe des Kegels!
$\displaystyle h = \dfrac{r}{tan\left(\frac{\varphi}{2} \right)}= \dfrac{3}{tan\left(\frac{60°}{2} \right)} = \dfrac{3}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 3 \sqrt{3} \approx 5{,}20$

Die Höhe des Kegels beträgt $3\sqrt{3} \approx 5{,}20$ .
Berechnung des Volumens
Das Volumen können wir nun mit der bekannten Formel berechnen. Setze dazu die bekannten Werte in die Formel ein und berechne das Volumen!
$\displaystyle V= \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot h$
$\displaystyle V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (3)^2 \cdot 3\sqrt{3} \approx 49{,}0$
Das Volumen des Kegels beträgt ca. $49,0$ .
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Schau dir den Artikel zum Kegel an und suche die passende Formel für das Volumen heraus.
Berechne den Oberflächeninhalt des Kegels.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
$O = M + G = r \cdot m \cdot \pi + r^2 \pi$
In der Formel haben wir alle Werte gegeben außer die Mantellinie $m$ .
Berechnung der Mantellinie
Die Mantellinie $m$ erhältst du ähnlich wie die Höhe in der Teilaufgabe $a)$ über das rechtwinklige Dreieck.
Benutze wieder eine trigonometrische Funktion, um die Mantellinie $m$ zu berechnen!
$sin \left( \dfrac{\varphi}{2} \right) = \dfrac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\dfrac{r}{m}$
Nutze den Sinus um $m$ mithilfe von $\frac{\varphi}{r}$ und $r$ zu berechnen. Und stelle die Gleichung entsprechend um!
$sin \left( \dfrac{\varphi}{2} \right) = \dfrac{r}{m} \hspace{2cm} |\cdot m$
$m \cdot sin \left( \dfrac{\varphi}{2} \right) = r |:sin \left( \dfrac{\varphi}{2} \right)$
$m = \dfrac{r}{sin \left( \frac{\varphi}{2} \right)}$
Setze die Werte für $r$ und $\varphi$ ein und berechne die Mantellinie $m$ .
$m = \dfrac{r}{sin \left( \frac{\varphi}{2} \right)} = \dfrac{3}{sin \left( \frac{60°}{2} \right)}$
$m = \dfrac{3}{sin \left( 30° \right)} = \dfrac{3}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 3 = 6$
Die Mantelfläche $m$ ist $6$ lang.
Berechnung des Oberflächeninhalts
Nutze die Formel für den Oberflächeninhalt des Kegels und setze die Werte ein.
$O = M + G = r \cdot m \cdot \pi + r^2 \pi$
$O = 3 \cdot 6 \cdot \pi +(3)^2 \cdot \pi = 27\pi \approx 84{,}8$
Die Oberfläche des Kegels beträgt ca. $84,8$ .
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Den Oberflächeninhalt des Kegels erhältst du mithilfe einer Formel, die du im Artikel zum Kegel findest.
Zeichne ein sauberes Bild des Netzes von diesem Kegel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
Vorüberlegungen
Beginne mit einer Skizze, in die du alle wichtigen Werte einzeichnest, die du kennen musst bevor du starten kannst.
Skizze:
In der nebenstehenden Skizze kennst du die Werte für $r$ und $m$ , dir fehlt aber der Wert für $\alpha$ .
Die Mantelfläche um $\alpha$ ist ein Kreissektor. Schau dir dazu nochmals die Formeln an und versuche den Wert für den Mittelpunktswinkel $\alpha$ zu berechnen.
Der Mittelpunktswinkel berechnet sich folgendermaßen in einem Kreissektor:
$\dfrac{\alpha}{360°} = \dfrac{A_{Sektor}}{A_{Kreis}}$
Mit $A_{Kreis}$ ist die Fläche gemeint, die ein Kreis mit dem Radius $m$ hätte.
Stelle jetzt die Flächen $A_{Sektor}$ und $A_{Kreis}$ auf und setze sie in die Formel ein.
Tipp: $A_{Sektor}$ entspricht der Mantelfläche des Kegels.
$A_{Sektor} = M = r \cdot m \cdot \pi$
$A_{Kreis} = m^2 \cdot \pi$
$\dfrac{\alpha}{360°} = \dfrac{A_{Sektor}}{A_{Kreis}}$
$\dfrac{\alpha}{360°} = \dfrac{r \cdot m \cdot \pi}{m^2 \cdot \pi}$
Kürzen ergibt:
$\dfrac{\alpha}{360°} = \dfrac{r}{m}$
Stelle die Gleichung nach $\alpha$ um!Und setze die Werte ein.
$\dfrac{\alpha}{360°} = \dfrac{r}{m} \hspace{2cm} |\cdot 360°$
$\alpha = \dfrac{r}{m} \cdot 360° = \dfrac{3}{6} \cdot 360° = \dfrac{1}{2} \cdot 360°$
$\alpha= 180°$
Dieser Kegel hat einen Mittelpunktswinkel seiner Mantelfläche von $180 °$ .
Konstruktion des Kegel - Netzes
Beginne mit der Mantelfläche und zeichne dazu den Mittelpunktswinkel $\alpha$ an den Punkt der Spitze $S$ .
Zeichne einen Halbkreis mit dem Radius $m = 6 \; cm$ um den Punkt $S$ .
Suche dir einen beliebigen Punkt am Halbkreis, an dem die Grundfläche $G$ des Kegels die Mantelfläche berührt. Benenne ihn! Zum Beispiel mit $A$ .
Verbinde den Punkt $S$ mit dem Punkt $A$ durch eine Halbgerade!
Am Punkt $A$ trägst du nun den Radius $r=3 \; cm$ ab und erhältst einen Schnittpunkt mit der Halbgerade.
Dieser Schnittpunkt ist $M$ (Mittelpunkt der Grundfläche).
Wenn du um $M$ den Kreis mit $r = 3 \; cm$ zeichnest hast du die Grundfläche.
Die türkis eingefärbte Fläche ist das Netz des Kegels.
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Tipp: Im Artikel zum Kegel ist ein Bild des Netzes vom Kegel zu sehen. Überlege dir, wie es für deinen Kegel aussehen muss!
Benutze für die $3$ aus der Angabe $3 c m$ in deinem Heft.