Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Parabel $p$ mit dem Scheitel $S (4 | - 2)$ hat eine Gleichung der Form $y = 0,25 x^{2} + b x + c$ mit $𝔾 = ℝ \times ℝ$ und $b, c \in ℝ$ .
Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y = 0,5 x + 2$ mit $𝔾 = ℝ \times ℝ$ .
1. Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Parabel $p$ die Gleichung $y = 0,25 x^{2} - 2 x + 2$ hat.
  Zeichnen Sie sodann die Parabel $p$ sowie die Gerade $g$ für $x \in [- 1; 11]$ in ein Koordinatensystem ein.
  Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 1 \leq x \leq 11; - 3 \leq y \leq 11$
  
  Lösung zu a
  $y = 0,25 x^{2} + b x + c$
  Scheitelpunkt $S (4 | - 2)$
  Scheitelpunktform $y = a (x - x_{S})^{2} + y_{S}$
  Normalform $y = a x^{2} + b x + c$
  Vergleiche die gegebene Parabelgleichung mit der allgemeinen Normalform um $a$ zu bestimmen. Setze dann $a$ und $S$ in die Scheitelpunktform ein und vereinfache.
  $y = 0,25 (x - 4)^{2} - 2$
  $y = 0,25 (x^{2} - 8 x + 16) - 2$
  $y = 0,25 x^{2} - 2 x + 4 - 2$
  $y = 0,25 x^{2} - 2 x + 2$
  Zeichne die Parabel und Gerade (z.B. mit Hilfe einer Wertetabelle aus dem Taschenrechner).
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2. Die Punkte $A (0 | 2)$ und $C (10 | 7)$ sind die Schnittpunkte der Parabel $p$ mit der Geraden $g$ . Sie sind zusammen mit Punkten $B_{n} (x | 0,25 x^{2} - 2 x + 2)$ auf der Parabel $p$ Eckpunkte von Drachenvierecken $A B_{n} C D_{n}$ mit der Geraden $g$ als Symmetrieachse.
  Zeichnen Sie das Drachenviereck $A B_{1} C D_{1}$ für $x = 6$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein und geben Sie das Intervall für $x$ an, für das es Drachenvierecke $A B_{n} C D_{n}$ gibt.
  
  Lösung zu b
  $A (0 | 2)$ und $C (10 | 7)$ sind die Schnittpunkte von $p$ und $g$ .
  $B_{n} (x | 0,25 x^{2} - 2 x + 2)$ liegen auf der Parabel $p$
  $A B_{n} C D_{n}$ bilden Drachenvierecke mit $g$ als Symmetrieachse
  Berechne $B_{1}$ indem du $x = 6$ in $B_{n}$ einsetzt:
  $B_{1} (6 | 0,25 \cdot 6^{2} - 2 \cdot 6 + 2)$
  $B_{1} (6 | - 1)$
  Drachenvierecke gibt es, solange $B$ zwischen $A$ und $C$ liegt.
  $x \in] 0; 10 [$
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3. Zeigen Sie rechnerisch, dass das Drachenviereck $A B_{1} C D_{1}$ bei $B_{1}$ rechtwinklig ist.
  
  Lösung zu c
  $A (0 | 2)$ , $B_{1} (6 | - 1)$ , $C (10 | 7)$
  Um zu zeigen, dass das Dreieck $A B_{1} C$ rechtwinklig ist, zeige, dass der Satz des Pythagoras erfüllt ist.
  Berechne dafür zunächst die Seitenlängen $A B_{1}$ , $B_{1} C$ und $C A$ .
  $A B_{1} = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}$
  $A B_{1} = \sqrt{6^{2} + (- 3)^{2}} = \sqrt{45}$
  $B_{1} C = \sqrt{(x_{C} - x_{B})^{2} + (y_{C} - y_{B})^{2}}$
  $B_{1} C = \sqrt{4^{2} + 8^{2}} = \sqrt{80}$
  $C A = \sqrt{(x_{A} - x_{C})^{2} + (y_{A} - y_{C})^{2}}$
  $C A = \sqrt{(- 10)^{2} + (- 5)^{2}} = \sqrt{125}$
  Überprüfe mit diesen Streckenlängen, ob der Satz des Pythagoras erfüllt ist.
  $C A$ sollte dabei die Hypotenuse sein.
  ${C A}^{2} = {A B_{1}}^{2} + {B_{1} C}^{2}$
  $125 = 45 + 80$
  Der Satz des Pythagoras ist erfüllt, damit ist das Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei $B_{1}$ .
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4. Unter den Drachenvierecken $A B_{n} C D_{n}$ gibt es die Drachenvierecke $A B_{2} C D_{2}$ und $A B_{3} C D_{3}$ , bei denen die Eckpunkte $B_{2}$ und $B_{3}$ auf der x-Achse liegen.
  Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte $B_{2}$ und $B_{3}$ .
  
  Lösung zu d
  $B_{n} (x | 0,25 x^{2} - 2 x + 2)$
  Die Punkte $B_{n}$ liegen auf der Parabel $p$ . Die Punkte $B_{2}$ und $B_{3}$ liegen auf der $x$ -Achse und sind deshalb die Nullstellen von $p$ . Um die Nullstellen zu berechnen, setze $y = 0$ in der Parabelgleichung und löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel.
  $0 = 0,25 x^{2} - 2 x + 2$
  $x_{2 / 3} = 4 \pm 2 \sqrt{2}$
  $x_{2} = 1,17$
  $x_{3} = 6,83$
  $\Rightarrow B_{2} (1,17 | 0), B_{3} (6,83 | 0)$
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5. Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt $A$ der Drachenvierecke $A B_{n} C D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ gilt:
  $A (x) = (- 2,5 x^{2} + 25 x) FE$
  
  Lösung zu e
  Gegeben sind die folgenden Punkte des Drachenvierecks:
  $A (0 | 2)$
  $B (x | 0,25 x^{2} - 2 x + 2)$
  $C (10 | 7)$
  Das Drachenviereck kannst du in die zwei Dreiecke $A B C$ und $A C D$ aufteilen. Die Flächeninhalte der beiden Dreiecke sind aufgrund der Symmetrie vom Drachenviereck gleich.
  Die Fläche vom Dreieck $A B C$ kannst du über die Determinante berechnen:
  $A_{A B C} = \frac{1}{2} | \vec{B A} \vec{B C} |$
  Um auf die Fläche des Drachenvierecks zu kommen, nehmen wir nun diese Fläche doppelt und kommen auf:
  $A_{A B C D} = | \vec{B A} \vec{B C} |$
  Berechne dazu die beiden Vektoren.
  $\vec{B A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} x \\ 0,25 x^{2} - 2 x + 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - x \\ - 0,25 x^{2} + 2 x \end{array})$
  $\vec{B C} = (\begin{array}{c} 10 \\ 7 \end{array}) - (\begin{array}{c} x \\ 0,25 x^{2} - 2 x + 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 10 - x \\ - 0,25 x^{2} + 2 x + 5 \end{array})$
  Anschließend kannst du die Determinante bestimmen.
  $A_{A B C D} = | \vec{B A} \vec{B C} |$
  $A_{A B C D} (x) = | \begin{array}{c} - x \\ - 0,25 x^{2} + 2 x \end{array} \begin{array}{c} 10 - x \\ - 0,25 x^{2} + 2 x + 5 \end{array} |$
  $A_{A B C D} (x) = - x \cdot (- 0,25 x^{2} + 2 x + 5) - (10 - x) (- 0,25 x^{2} + 2 x)$
  $A_{A B C D} (x) = 0,25 x^{3} - 2 x^{2} - 5 x - (- 2,5 x^{2} + 20 x + 0,25 x^{3} - 2 x^{2})$
  $A_{A B C D} (x) = 0,25 x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 2,5 x^{2} - 20 x - 0,25 x^{3} + 2 x^{2}$
  $A_{A B C D} (x) = - 5 x + 2,5 x^{2} - 20 x$
  $A (x) = 2,5 x^{2} - 25 x FE$
  Der Flächeninhalt des Drachenvierecks in Abhängigkeit von $x$ ist $A (x) = 2,5 x^{2} - 25 x$ .
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6. Unter den Drachenvierecken $A B_{n} C D_{n}$ gibt es die Raute $A B_{4} C D_{4}$ .
  Zeichnen Sie die Raute $A B_{4} C D_{4}$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a) ein.
  Ermitteln Sie sodann rechnerisch die Gleichung der Geraden $M B_{4}$ .
  $[$ Teilergebnis: $M (5 | 4,5)$ $]$
  
  Lösung zu f
  $A (0 | 2)$ , $C (10 | 7)$
  $g (x) = 0,5 x + 2$
  Die Gerade $M B_{4}$ ist senkrecht zu $g$ und verläuft durch den Punkt $M$ . Berechne zunächst die Koordinaten von $M$ .
  $M$ liegt in der Mitte zwischen $A$ und $C$
  $\Rightarrow x_{M} = \frac{x_{A} + x_{C}}{2} = \frac{0 + 10}{2} = 5$
  $\Rightarrow y_{M} = \frac{y_{A} + y_{C}}{2} = \frac{2 + 7}{2} = 4,5$
  $\Rightarrow M (5 | 4,5)$
  Berechne nun aus dem Wissen, dass beide Geraden rechtwinklig zueinander sind, die Steigung von $M B_{4}$ .
  Für rechtwinklige Geraden mit Steigungen $m$ und $m^{'}$ gilt: $m \cdot m^{'} = - 1$ .
  Damit ist die Steigung
  $m_{M B_{4}} = \frac{- 1}{m_{g}} = \frac{- 1}{0,5} = - 2$
  Setze jetzt die Steigung $m_{M B_{4}}$ und $M$ in die allgemeine Geradengleichung $y = m x + b$ ein und bestimme den fehlenden Parameter $b$ .
  $\begin{array}{rcll} y & = & m x + b \\ 4,5 & = & - 2 \cdot 5 + b \\ 4,5 & = & - 10 + b & | + 10 \\ 14,5 & = & b \end{array}$
  $\Rightarrow M B_{4} : y = - 2 x + 14,5$
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2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Das rechtwinklige Dreieck $A B C$ mit der Hypotenuse $[B C]$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ (siehe Skizze).
Die Spitze $S$ liegt senkrecht über dem Punkt $A$ .
Es gilt: $A C = 10 cm; A B = 7 cm; A S = 9 cm$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei die Strecke $[A C]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $C$ links vom Punkt $A$ liegen soll.
  Für die Zeichnung gilt: $q = 0,5; ω = 45 °$ .
  Bestimmen Sie sodann rechnerisch die Länge der Strecke $[C S]$ und das Maß $ϵ = 41,99 °$ des Winkels $A C S$ . $[$ Ergebnisse: $C S = 13,45 cm; ϵ = 41,99 °$ $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Teilaufgabe a
  Zeichnen des Schrägbildes
  Das Schrägbild ist eine genaue Zeichnung der Pyramide. In der Angabe steht, dass die Strecke $[A C]$ auf der Schrägbildachse liegt. Das bedeutet auf der Zeichenebene. Der Punkt $S$ liegt senkrecht über dem Punkt $A$ und somit liegt das Dreieck $A S C$ genau auf der Zeichenebene. Zeichne dies zuerst, indem du die bekannten Strecken $C A = 10 cm$ und $A S = 9 cm$ einzeichnest und die Punkte $C$ und $S$ verbindest.
  Jetzt fehlt nur noch der Punkt $B$ und die entsprechenden Verbindungen dazu. Dazu benötigst du die Angabe, dass $ω = 45 °$ . Das bedeutet, die Strecke $[A B]$ , die in Wirklichkeit einen $90 °$ Winkel zur Strecke $[A C]$ bildet, wird perspektivisch verzerrt in einem $45 °$ Winkel nach rechts hinten gezeichnet.
  Dabei entspricht immer eine Kästchendiagonale einem Zentimeter. Du musst also die $7 cm$ lange Strecke $7$ Kästchendiagonalen lang zeichnen.
  Länge der Strecke $[C S]$
  Um die Länge der Strecke $[C S]$ zu bestimmen, nutzt du am besten das rechtwinklige Dreieck $C A S$ . Stelle für dieses Dreieck den Satz des Pythagoras auf, dabei ist die Strecke $[C S]$ die Hypotenuse.
  ${C S}^{2} = {A C}^{2} + {A S}^{2}$
  Löse nach $C S$ auf, indem du die Wurzel ziehst.
  $C S = \sqrt{{A C}^{2} + {A S}^{2}}$
  Setze die gegebenen Werte ein und rechne $C S$ aus.
  $C S = \sqrt{(10 cm)^{2} + (9 cm)^{2}} = 13,45$ cm
  Größe des Winkels $ϵ$
  Die Größe des Winkels $ϵ$ kannst du durch die trigonometrischen Formeln im rechtwinkligen Dreieck berechnen.
  Als Erstes ordnest du die Begriffe Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete bezüglich $ϵ$ zu:
  $C S$ ist die Hypotenuse, $A C$ ist die Ankathete und $A C$ ist die Gegenkathete.
  Nun wählst du dir eine der drei Formeln Sinus, Kosinus und Tangens aus.
  Hier wird es beispielsweise mit Tangens berechnet:
  $\tan (ϵ) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{A S}{A C}$
  Setze nun die Werte ein.
  $\tan (ϵ) = \frac{9}{10}$
  Nutze nun $\tan^{- 1}$ um $ϵ$ zu bestimmen.
  Der Winkel ist $ϵ = \tan^{- 1} (\frac{9}{10}) = 41,99 °$ .
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2. Für Punkte $F_{n}$ auf der Strecke $[A C]$ gilt: $A F_{n} (x) = x cm$ mit $x \in ℝ$ und $0 < x < 10$ . Die Punkte $F_{n}$ sind Eckpunkte von Rechtecken $A D_{n} E_{n} F_{n}$ mit $D_{n} \in [A B]$ und $E_{n} \in [B C]$ .
  Zeichnen Sie das Rechteck $A D_{1} E_{1} F_{1}$ für $x = 4$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe a) ein.
  Berechnen Sie sodann die Länge der Strecken $[E_{n} F_{n}]$ in Abhängigkeit von $x$ und ermitteln Sie rechnerisch den Wert für $x$ , für den man das Quadrat $A D_{0} E_{0} F_{0}$ erhält.
  $[$ Ergebnis: $[E_{n} F_{n} (x) = (- 0,7 x + 7) cm]$
  
  Teilaufgabe b
  Versuche, dir die Aufgabenstellung so zu verdeutlichen, dass du es dir in der Zeichnung vorstellen kannst.
  Punkt $F_{n}$ liegt irgendwo auf der Strecke zwischen $A$ und $C$ ( $F_{n} \in [A C]$ ) Dabei gilt: $A F_{n} (x) = x cm$ . Das bedeutet: Der Abstand vom Punkt $F_{n}$ zum Punkt $A$ beträgt $x cm$ . Im ersten Fall $F_{1}$ mit $x = 4$ ist er also $4 cm$ von $A$ entfernt.
  Zeichne diesen Punkt in dein Schrägbild ein!
  Punkt $D_{n}$ liegt auf der Strecke $[A B]$ und $E_{n}$ liegt auf der Strecke $[B C]$ . Genaue Punkte kennst du allerdings noch nicht. Schaue dir dazu die nächste Bedingung an!
  $A D_{1} E_{1} F_{1}$ Soll insgesamt ein Rechteck ergeben. Das bedeutet: Es gibt nur rechte Winkel in diesem Viereck und die gegenüberliegenden Seiten sind jeweils gleich lang. Da du eine Seite $F_{1} A$ schon kennst, kannst du auch $[D_{1} E_{1}] = 4 cm$ sofort bestimmen.
  Um nun die fehlenden Punkte herauszufinden, musst du eine Parallelverschiebung der Strecke $[A B]$ machen, bis die parallele Strecke im Punkt $F_{1}$ liegt.
  Bestimmung der Strecke $E_{n} F_{n}$ Zeichne dir dafür am besten eine kleine Skizze, wie das Dreieck $A B C$ mit eingezeichnetem Viereck $A D_{n} E_{n} F_{n}$ aussehen würde.
  Beschrifte nun die Strecken auf der rechten Seite. Du weißt, dass $A B = 7 cm$ und dass $A D_{N} = E_{n} F_{n}$ .
  Betrachte nun das rechtwinklige Dreieck $E_{n} D_{n} B$ . Den Winkel $β$ kannst du leicht berechnen und du kennst die Strecke $x$ . Aus diesem Grund kannst du mithilfe des Tangens die Strecke $D_{n} B$ berechnen, welche genau $7 cm - x$ ist.
  $\tan (β) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{7 cm - E_{n} F_{n}}{x}$
  Der $\tan (β)$ ergibt sich aus dem rechtwinkligen Dreieck $A B C$ zu
  $\tan (β) = \frac{7}{10}$
  Also erhältst du:
  $\tan (β) = \frac{7 cm - E_{n} F_{n}}{x} = \frac{7}{10}$
  Du kannst nun die Gleichung nach $x$ lösen:
  $\frac{7 cm - E_{n} F_{n}}{x} = \frac{7}{10} | \cdot x$
  $7 cm - E_{n} F_{n} = 0,7 x | + E_{n} F_{n} | - 0,7 x$
  $7 cm - 0,7 x = E_{n} F_{n}$
  Die Strecke $E_{n} F_{n}$ beträgt also: $E_{n} F_{n} = (- 0,7 x + 7) cm$ .
  Im nächsten Schritt sollst du diese Länge berechnen, wenn das Rechteck $A D_{0} E_{0} F_{0}$ ein Quadrat wird. Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang. In unserem Fall gilt also:
  $x = E_{0} F_{0}$
  $x = - 0,7 x + 7$
  Löse diese Gleichung nun nach $x$ auf.
  $x = - 0,7 x + 7 | + 0,7 x$
  $1,7 x = 7 | : 1,7$
  $x = 4,12$
  Mit $x = 4,12 cm$ entsteht ein Quadrat $A D_{0} E_{0} F_{0}$ .
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3. Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Rechtecke $A D_{n} E_{n} F_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ .
  Bestimmen Sie sodann den Wert für $x$ , für den der Flächeninhalt der Rechtecke $A D_{n} E_{n} F_{n}$ maximal wird.
  
  Teilaufgabe c
  Der Flächeninhalt von $A D_{n} E_{n} F_{n}$ ergibt sich aus dem Produkt der Länge und der Breite des Rechtecks.
  $A (x) = x \cdot E_{n} F_{n} = x \cdot (- 0,7 x + 7) {cm}^{2} = (- 0,7 x^{2} + 7 x) {cm}^{2}$
  Der Graph der Funktion $A (x) = - 0,7 x^{2} + 7 x$ ist eine umgekehrte Parabel (siehe Abbildung rechts). Um das Maximum zu finden, musst du den Scheitelpunkt dieser Funktion berechnen.
  Um auf die Scheitelpunktform von $A (x) = - 0,7 x^{2} + 7 x$ zu kommen, musst du die quadratische Ergänzung anwenden.
  Klammere dazu zuerst den Faktor $- 0,7$ vor dem $x^{2}$ aus.
  $A (x) = - 0,7 x^{2} + 7 x$
  $A (x) = - 0,7 (x^{2} - 10 x)$
  Ergänze nun den Term in der Klammer, um auf die zweite binomische Formel zu kommen.
  $A (x) = - 0,7 (\underset{2. binomische Formel}{\underset{⏟}{x^{2} - 10 x + 25}} - 25)$
  $A (x) = - 0,7 ((x - 5)^{2} - 25)$
  $A (x) = - 0,7 (x - 5)^{2} + 17,5$
  Der x-Wert des Scheitelpunktes ist die Nullstelle der Klammer.
  In diesem Fall wäre das $x = 5$ . Damit erhältst du das Maximum des Flächeninhalts $A (x)$ bei $x = 5$ .
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4. Der Punkt $T$ liegt auf der Strecke $[C S]$ mit $T S = 2 cm$ . $T$ ist die Spitze von Pyramiden $A D_{n} E_{n} F_{n} T$ mit den Rechtecken $A D_{n} E_{n} F_{n}$ als Grundflächen und der Höhe $h$ .
  Zeichnen Sie die Pyramide $A D_{1} E_{1} F_{1} T$ und der Höhe $h$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe a) ein.
  Zeigen Sie sodann, dass gilt: $h = 7,66 cm$
  
  Teilaufgabe d
  In das Schrägbild aus Teilaufgabe $a$ soll nun ein weiterer Punkt $T$ eingezeichnet werden. Dieser liegt auf der Strecke $[C S]$ im Abstand von $2 cm$ zu $S$ .
  Der Punkt $T$ ist nun die Spitze einer neuen Pyramide, mit der Grundfläche $A D_{1} E_{1} F_{1}$ . Zeichne die Seitenkanten der Pyramide in das Schrägbild ein.
  Die Höhe dieser neuen Pyramide wird mit $h$ bezeichnet. Sie steht senkrecht auf die Strecke $[F_{1} A]$ .
  Im Folgenden soll nun diese Höhe berechnet werden. Betrachte dazu die Skizze:
  $h$ direkt zu berechnen ist leider nicht ohne weiteres möglich, allerdings können wir eine Hilfslinie ziehen um die Differenz zwischen Höhe $h$ und der Seitenlinie $A S$ zu berechnen.
  Diese Hilfslinie (wir nennen sie hier $T P$ wurde in der folgenden Skizze eingezeichnet.
  Beachte, dass sich der Winkel $ε$ aus dem Dreieck $A S C$ sich hier im rechtwinkligen Dreieck $P S T$ wiederfindet. Berechne nun über den Sinus von $ε$ die Länge der Strecke $P S$ .
  $sin (ε) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse} = \frac{P S}{2 cm}$
  $P S = sin (ε) \cdot 2 cm = sin (41,99 °) \cdot 2 cm = 1,34 cm$
  In der Zeichnung siehst du, dass die Höhe $h$ dieselbe Länge hat wie die Strecke $A P$ . Um nun also auf die Höhe zu kommen, kannst du rechnen:
  $h = A S - P S = 9 cm - 1,34 cm = 7,66 cm$
  Damit bestätigst du das Ergebnis aus der Angabe. Die Höhe ist $7,66 cm$ lang.
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5. Begründen Sie, dass für das Maß $α$ der Winkel $T F_{n} C$ gilt: $α < 138,01 °$ .
  Berechnen Sie anschließend die untere Intervallgrenze für $α$ .
  $[$ Teilergebnis: $A T = 7,80 cm]$
  
  Teilaufgabe e
  Vom Dreieck $T F_{n} C$ hast du bereits einen Winkel, nämlich $ε = 41,99 °$ gegeben. Wenn der dritte Winkel $C T F_{n}$ jetzt also sehr klein wird, dann erreicht der Winkel $α$ sein Maximum.
  Dieses Maximum erhältst du über die Innenwinkelsumme des Dreiecks und die Annahme, dass der Winkel $C T F_{n}$ annähernd $0 °$ wird.
  $α < 180 ° - 41,99 °$
  $α < 138,01 °$
  Die untere Intervallgrenze erhältst du, wenn $F_{n}$ genau auf $A$ liegt. Denn so wird der Winkel $α$ am kleinsten.
  Die Größe des Winkels $α :$
  $\sin ∢ T A C = \frac{h}{A T}$
  Mit dem Kosinussatz folgt dann:
  $A T = \sqrt{{A C}^{2} + {C T}^{2} - 2 \cdot A C \cdot C T \cdot \cos ϵ}$
  Dabei ist $C T = C S - T S = (13,45 - 2) cm = 11,45 cm$
  $\Rightarrow A T = \sqrt{10^{2} + {11,45}^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 11,45 \cdot \cos {41,99}^{\circ}} cm$
  $A T = 7,80 cm$
  $\sin ∢ T A C = \frac{7,66 cm}{7,80 cm}$
  $\Rightarrow ∢ T A C = \sin^{- 1} (\frac{7,66}{7,80}) = {79,13}^{\circ}$
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