Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

Erstelle ein beschriftetes Baumdiagramm.

$\alpha)$

Um $P(K)$ zu berechnen, musst du die beiden Pfade der Wahrscheinlichkeiten $P(A\cap K)$ und $P(B\cap K)$ addieren (beachte die Pfadregeln).

$P(K)=P(A\cap K)+P(B\cap K)=0{,}65\cdot 0{,}95+0{,}35\cdot 0{,}7=0{,}8625$

$\beta)$

Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_K(B)$ lässt sich berechnen mit der Formel $P_K(B)=\frac{P(K\cap B)}{P(K)}$.

$P(K)$ hast du in $\alpha )$ berechnet, $P(K\cap B)$ kannst du dem Baumdiagramm entnehmen.

$P_K(B)=\frac{0{,}35\cdot0{,}7}{0{,}8625}=\frac{98}{345}\approx 0{,}28$

$P(E)$

Bei dem Experiment handelt es sich um eine Bernoulli-Kette, da nur zwei Ergebnisse möglich sind (keimt und keimt nicht) und es 200 Wiederholungen des "Versuchs" gibt. Du kannst die Wahrscheinlichkeit im Tafelwerk der Stochastik nachschlagen ($n=200$, $p=0{,}7$, $k=140$ bzw. $n=200$, $p=0{,}3$, $k=60$).

$P(X=140)=B(200;0{,}7;140)\approx 0{,}0615$

$P(F)$

Auch hier kannst du im Tafelwerk der Stochastik nachschlagen.

$P(130< X\le 149)=P(X\le149)-P(X\le 130)=0{,}9305-0{,}0728=0{,}8577$

$n=300$ bedeutet, dass du es mit einer Bernoulli-Kette der Länge 300 zu tun hast; im Sachzusammenhang heißt das, dass 300 Samenkörner untersucht werden.

Durch die Angabe der Wahrscheinlichkeit $p=0{,}95$ weißt du, dass es um die Wahrscheinlichkeit dafür geht, dass ein Samenkorn der Qualität A keimt.

$1-P(X\ge 275)=P(X < 275)=P(X \le 274)$ ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 274 von 300 Samenkörnern der Qualität A keimen.

In Arbeit

Führe einen Hypothesentest durch.

Stelle zunächst die Testparameter auf: $n=100$, $p=0{,}7$.

Die Nullhypothese $H_0$ kannst du der Angabe entnehmen. Die Gegenhypothese $H_1$ lautet: "Die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B ist über $70\ \%$."

$H_0$ soll auf einem Signifikanzniveau von 5% getestet werden, d.h. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (unrechtmäßige Ablehnung der Nullhypothese) soll höchstens $5\ \%$ sein.

$\Rightarrow P^{100}_{0{,}7}(X\ge k)\le 0{,}05$

Betrachte die Gegenwahrscheinlichkeit und forme um, um die Formel im Tafelwerk zu finden.

$\Leftrightarrow 1- P^{100}_{0{,}7}(X< k)\le 0{,}05$

$\Leftrightarrow P^{100}_{0{,}7}(X\le k-1)\ge 1-0{,}05$

$\Leftrightarrow P^{100}_{0{,}7}(X\le k-1)\ge 0{,}95$

Jetzt kannst du im Tafelwerk nachschlagen.

$\Longrightarrow\;\; k-1=77\;\;\;\Longrightarrow\;\; k=78$

Die Entscheidungsregel ist also:

$A=\{0, 1, …, 77\}$

$\bar{A}=\{78, 79, …, 100\}$