Aufgaben zum Verständnis des Grenzwertbegriffs

Aufgaben
Sieh dir den dargestellten Graphen an: Welchen Wert vermutest du aufgrund der Abbildung für
  1. den Grenzwert für x→−∞x\rightarrow -\infty?
  • den Grenzwert für x→+∞x\rightarrow +\infty?
  • den Grenzwert bei Annäherung von links an die Definitionslücke?
  • den Grenzwert bei Annäherung von rechts an die Definitionslücke?
Bezeichne die Funktion mit ff und verwende eine korrekte mathematische Schreibweise mit dem Limes (also z. B. lim⁡x→−∞f(x)= …\underset{x\rightarrow -\infty}{\lim}f(x)=\, … bei Teilaufgabe 1 usw.).
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(Anmerkung und Hilfe: Die Definitionslücke von ff ist natürlich bei x=−1x=-1.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwertbetrachtungen

Teilaufgabe 1:

Grenzwert für x→−∞x\rightarrow -\infty ?
Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion am linken Rand des Bildes annimmt: Du erkennst, dass sie sich an den Wert y=2y=2 annähern. Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für x→−∞x\rightarrow -\infty gleich 2 ist.
Ergebnis: lim⁡x→−∞f(x)=2\underset{x\rightarrow -\infty}{\lim}f(x)=2

Teilaufgabe 2:

Grenzwert für x→+∞x\rightarrow +\infty ?
Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion am rechten Rand des Bildes annimmt: Du erkennst, dass sie sich an den Wert y=2y=2 annähern. Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für x→+∞x\rightarrow +\infty gleich 2 ist.
Ergebnis: lim⁡x→∞f(x)=2\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}f(x)=2

Teilaufgabe 3:

Grenzwert für x→−1−x\rightarrow -1^- ?
Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion annimmt, wenn man sich von der linken Seite her an x=−1x=-1 annähert: Du erkennst, dass die Werte immer größer werden und kein Ende nach oben erkennbar ist.
Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für x→−1−x\rightarrow -1^- gleich +∞+\infty ist.
Ergebnis: lim⁡x→−1−f(x)=∞\underset{x\rightarrow -1^-}{\lim}f(x)=\infty

Teilaufgabe 4:

Grenzwert für x→−1+x\rightarrow -1^+ ?
Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion annimmt, wenn man sich von der rechten Seite her an x=−1x=-1 annähert: Du erkennst, dass die Werte immer kleiner werden und kein Ende nach unten erkennbar ist.
Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für x→−1+x\rightarrow -1^+ gleich −∞-\infty ist.
Ergebnis: lim⁡x→−1+f(x)=−∞\underset{x\rightarrow -1^+}{\lim}f(x)=-\infty
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(Anmerkung und Hilfe: Die Definitionslücke von ff ist natürlich bei x=−1x=-1.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwertbetrachtungen

Teilaufgabe 1:

Grenzwert für x→−∞x→−∞ ?
Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion am linken Rand des Bildes annimmt: Du erkennst, dass sie sich an den Wert y=2y=2 annähern. Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für x→−∞x→−∞ gleich 22 ist.
Ergebnis: lim⁡x→−∞f(x)=2\underset{x\rightarrow -\infty}{\lim}f(x)=2

Teilaufgabe 2:

Grenzwert für x→+∞x→+∞ ?
Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion am rechten Rand des Bildes annimmt: Du erkennst, dass sie sich an den Wert y=2y=2 annähern. Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für x→+∞x→+∞ gleich 22 ist.
Ergebnis: lim⁡x→∞f(x)=2\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}f(x)=2

Teilaufgabe 3:

Grenzwert für x→−1−x\rightarrow -1^- ?
Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion annimmt, wenn man sich von der linken Seite her an x=−1x=−1 annähert: Du erkennst, dass die Werte immer kleiner werden und kein Ende nach unten erkennbar ist.
Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für Grenzwert für Grenzwert für x→−1−x\rightarrow -1^- gleich −∞−∞ ist
Ergebnis: lim⁡x→−1−f(x)=−∞\underset{x\rightarrow -1^-}{\lim}f(x)=-\infty

Teilaufgabe 4:

Grenzwert für x→−1+x\rightarrow -1^+ ?
Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion annimmt, wenn man sich von der rechten Seite her an x=−1x=−1 annähert: Du erkennst, dass die Werte immer größer werden und kein Ende nach oben erkennbar ist.
Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für x→−1+x\rightarrow -1^+ gleich +∞+∞ ist.
Ergebnis: lim⁡x→−1+f(x)=∞\underset{x\rightarrow -1^+}{\lim}f(x)=\infty
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(Anmerkung und Hilfe: Die Definitionslücke von ff ist bei x=2,5x=2,5.)

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Anleitungen und Hilfen in schriftlicher Form zusammengestellt findest du auf der Hilfestartseite.
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(Anmerkung und Hilfe: Die Definitionslücke von ff ist natürlich bei x=−2x=-2.)

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(Anmerkung und Hilfe: Die Definitionslücke von ff ist bei x=1,5x=1,5.)

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  • Notiere im Feld "Änderungen" zum Beispiel "Lösung geschrieben" oder ähnlich. Setze das Häkchen bei dem Text, mit dem du versicherst, keine fremden Rechte verletzt zu haben usw. und
  • klicke zum Schluss auf den Button oben links zum Speichern!
Deine Lösung kommt dann zunächst einmal in einen speziellen Bereich, wo sie von einem Team- oder erfahrenen Community-Mitglied geprüft wird, ehe sie - wenn sie für richtig befunden wird - online gestellt wird.
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