Aufgaben zum Verständnis des Grenzwertbegriffs

Kenne deine Grenzen! Vertiefe dein Verständnis zum Grenzwertbegriff mit diesen Übungsaufgaben.

1
Sieh dir den dargestellten Graphen an: Welchen Wert vermutest du aufgrund der Abbildung für
den Grenzwert für $x \to - \infty$ ?
den Grenzwert für $x \to + \infty$ ?
den Grenzwert bei Annäherung von links an die Definitionslücke?
den Grenzwert bei Annäherung von rechts an die Definitionslücke?
Bezeichne die Funktion mit $f$ und verwende eine korrekte mathematische Schreibweise mit dem Limes (also z. B. $\lim_{x \to - \infty} f (x) = \dots$ bei Teilaufgabe 1 usw.).
1. (Anmerkung und Hilfe: Die Definitionslücke von $f$ ist natürlich bei $x = - 1$ .)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwertbetrachtungen
  Teilaufgabe 1:
  Grenzwert für $x \to - \infty$ ?
  Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion am linken Rand des Bildes annimmt: Du erkennst, dass sie sich an den Wert $y = 2$ annähern. Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für $x \to - \infty$ gleich 2 ist.
  Ergebnis: $\lim_{x \to - \infty} f (x) = 2$
  Teilaufgabe 2:
  Grenzwert für $x \to + \infty$ ?
  Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion am rechten Rand des Bildes annimmt: Du erkennst, dass sie sich an den Wert $y = 2$ annähern. Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für $x \to + \infty$ gleich 2 ist.
  Ergebnis: $\lim_{x \to \infty} f (x) = 2$
  Teilaufgabe 3:
  Grenzwert für $x \to - 1^{-}$ ?
  Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion annimmt, wenn man sich von der linken Seite her an $x = - 1$ annähert: Du erkennst, dass die Werte immer größer werden und kein Ende nach oben erkennbar ist.
  Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für $x \to - 1^{-}$ gleich $+ \infty$ ist.
  Ergebnis: $\lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = \infty$
  Teilaufgabe 4:
  Grenzwert für $x \to - 1^{+}$ ?
  Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion annimmt, wenn man sich von der rechten Seite her an $x = - 1$ annähert: Du erkennst, dass die Werte immer kleiner werden und kein Ende nach unten erkennbar ist.
  Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für $x \to - 1^{+}$ gleich $- \infty$ ist.
  Ergebnis: $\lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = - \infty$
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2. (Anmerkung und Hilfe: Die Definitionslücke von $f$ ist natürlich bei $x = - 1$ .)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwertbetrachtungen
  Teilaufgabe 1:
  Grenzwert für $x \to - \infty$ ?
  Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion am linken Rand des Bildes annimmt: Du erkennst, dass sie sich an den Wert $y = 2$ annähern. Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für $x \to - \infty$ gleich $2$ ist.
  Ergebnis: $\lim_{x \to - \infty} f (x) = 2$
  Teilaufgabe 2:
  Grenzwert für $x \to + \infty$ ?
  Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion am rechten Rand des Bildes annimmt: Du erkennst, dass sie sich an den Wert $y = 2$ annähern. Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für $x \to + \infty$ gleich $2$ ist.
  Ergebnis: $\lim_{x \to \infty} f (x) = 2$
  Teilaufgabe 3:
  Grenzwert für $x \to - 1^{-}$ ?
  Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion annimmt, wenn man sich von der linken Seite her an $x = - 1$ annähert: Du erkennst, dass die Werte immer kleiner werden und kein Ende nach unten erkennbar ist.
  Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für Grenzwert für Grenzwert für $x \to - 1^{-}$ gleich $- \infty$ ist
  Ergebnis: $\lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = - \infty$
  Teilaufgabe 4:
  Grenzwert für $x \to - 1^{+}$ ?
  Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion annimmt, wenn man sich von der rechten Seite her an $x = - 1$ annähert: Du erkennst, dass die Werte immer größer werden und kein Ende nach oben erkennbar ist.
  Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für $x \to - 1^{+}$ gleich $+ \infty$ ist.
  Ergebnis: $\lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \infty$
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3. (Anmerkung und Hilfe: Die Definitionslücke von $f$ ist bei $x = 2,5$ .)
  
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  Wenn du möchtest, kannst du selbst eine Lösung erstellen und hier hinzufügen.
  Lösche dazu diesen Text hier und schreibe deine Lösung auf Serlo!
  Wenn du technische Fragen oder Probleme hast, zögere nicht, dich an uns zu wenden: Schreib einen Kommentar (entweder direkt zu dieser Aufgabe oder auf das Profil von jemandem vom Team),oder sende eine E-Mail an de@serlo.org.
  Anleitungen und Hilfen in schriftlicher Form zusammengestellt findest du auf der Hilfestartseite.
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7. (Anmerkung und Hilfe: Die Definitionslücke von $f$ ist natürlich bei $x = - 2$ .)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwertbetrachtungen
  
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8. (Anmerkung und Hilfe: Die Definitionslücke von $f$ ist bei $x = 1,5$ .)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwertbetrachtungen
  
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  Lösche dazu diesen Text hier und schreibe deine Lösung auf Serlo!
  Das geht so:
  Klicke dazu auf das Rädchen neben der Lösung,
  und danach auf "Bearbeiten".
  Schreibe dann deine Lösung im Editorfenster (linke Seite) an die Stelle dieses Textes hier (bzw. in weitere Layout-Zeilen).
  Notiere im Feld "Änderungen" zum Beispiel "Lösung geschrieben" oder ähnlich. Setze das Häkchen bei dem Text, mit dem du versicherst, keine fremden Rechte verletzt zu haben usw. und
  klicke zum Schluss auf den Button oben links zum Speichern!
  Deine Lösung kommt dann zunächst einmal in einen speziellen Bereich, wo sie von einem Team- oder erfahrenen Community-Mitglied geprüft wird, ehe sie - wenn sie für richtig befunden wird - online gestellt wird.
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2
Die Graphen haben jeweils keine weiteren Nullstellen oder Extremstellen außer den sichtbaren.
Wähle jeweils die korrekten Grenzwerte, die der Graph für das Verhalten im Unendlichen/ an Asymptoten hat.
1. $\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$
  $\lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty$
  $\lim_{x \to + \infty} f (x) = - \infty$
  $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$
2. $\lim_{x \to - \infty} g (x) = - \infty$
  $\lim_{x \to - \infty} g (x) = + \infty$
  $\lim_{x \to + \infty} g (x) = - \infty$
  $\lim_{x \to + \infty} g (x) = + \infty$
3. $\lim_{x \to - \infty} h (x) = - \infty$
  $\lim_{x \to - \infty} h (x) = 0$
  $\lim_{x \to 0} h (x) = - \infty$
  $\lim_{x \to + \infty} h (x) = - \infty$
  $\lim_{x \to + \infty} h (x) = 0$
  $\lim_{x \to 0} h (x) = + \infty$
4. Anmerkung: Bei $x = 1$ ist eine senkrechte Asymptote. Der Graph nähert sich dieser an, aber schneidet sie nicht. Auch hier ist der Grenzwert interessant!
  Es wird bei den folgenden Antworten nicht der Grenzwert für $\pm \infty$ untersucht, sondern für das Verhalten links von $x = 1$ und rechts von $x = 1$
  $\lim_{\begin{array}{c} x \to 1 \\ x < 1 \end{array}} p (x) = - \infty$
  $\lim_{\begin{array}{c} x \to 1 \\ x < 1 \end{array}} p (x) = + \infty$
  $\lim_{\begin{array}{c} x \to 1 \\ x > 1 \end{array}} p (x) = - \infty$
  $\lim_{\begin{array}{c} x \to 1 \\ x > 1 \end{array}} p (x) = + \infty$