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A II

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die reelle Funktion f:x2x+1x3f:x \mapsto \frac {2x+1}{x^3} mit der maximalen Definitionsmenge DfR\mathbb{D}_f \subset \mathbb{R}. Ihr Graph wird mit GfG_f bezeichnet.

    1. Geben Sie Df\mathbb{D}_f und die Art der Definitionslücke von ff an und bestimmen Sie die Nullstelle von ff. (3 BE)

    2. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte an den Rändern von Df\mathbb{D}_f und geben Sie Art und Gleichungen aller Asymptoten von Gf\mathbb{G}_f an. (5 BE)

    3. Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle von Gf\mathbb{G}_f und bestimmen Sie Art und Koordinaten des Extrempunktes von Gf\mathbb{G}_f. (7 BE)

      [Mo¨gliches Teilergebnis:f(x)=4x3x4]\left[ \text{Mögliches Teilergebnis:}\, f'(x)=\frac{-4x-3}{x^4}\right]

    4. Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und mittels geeigneter zusätzlicher Funktionswerte GfG_f für 55x5-5\leq 5x\leq 5 in ein kartesisches Koordinatensystem (5 BE)

    5. Zeigen Sie, dass sich der Funktionsterm f(x)f(x) auch durch f(x)=2x2+1x3f(x)= \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3} darstellen lässt und bestimmen Sie seine Stammfunktion F der Funktion f mit DF=Df\mathbb{D}_F = \mathbb{D}_f. (3 BE)

    6. Der Graph GfG_f, die Geraden x=1,  x=b  (b>1)x=1 , \; x=b \; (b \gt 1) und die x-Achse schließen ein Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück für b=4b=4 im Koordinatensystem der Teilaufgabe 1.4. Zeigen Sie, dass sich für die Maßzahl des Flächeninhalts A(b)=2b0,5b2+2,5A(b)=- \frac{2}{b}-\frac{0{,}5}{b^2}+2{,}5 ergibt. Bestimmen Sie den Grenzwert von A(b) für bb\rightarrow \infty. (6 BE)

  2. 2

    Zum Ende des Jahres 1995 (Zeitpunkt t=0t = 0) lebten laut der Organisation der Vereinten Nationen (UNO) 5,74 Milliarden Menschen auf der Erde. Ende 2016 hatte die Erdbevölkerung gegenüber t=0t = 0 um 29,1%29{,}1\% zugenommen. Mit der vereinfachenden Annahme einer exponentiellen Entwicklung gilt für die Gesamtzahl NN der Weltbevölkerung in Milliarden in Abhängigkeit von der Zeit tt in Jahren die Gleichung N(t)=aebtN(t)= a \cdot e^{bt} mit t0t\geq0 und a,bRa, b \in \mathbb{R}. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.

    1. Bestimmen Sie aus den obigen Angaben die Parameter aa und bb. [Ergebnisse: a5,74;b0,01216]\left[ \text{Ergebnisse: } a\approx 5{,}74; b \approx 0{,}01216 \right] (4 BE)

    2. Berechnen Sie, wie viele Menschen zum Ende des Jahres 2005 nach dem Modell von 2.0 auf der Erde lebten. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der tatsächlichen Weltbevölkerung Ende 2005 von 6,52 Milliarden (UNO), indem Sie die prozentuale Abweichung berechnen und bewerten Sie damit die Güte des Modells. Geben Sie außerdem stichpunktartig drei Gründe an, die eine genaue Ermittlung der weltweiten Bevölkerungszahl erschweren. (6 BE)

    3. Ermitteln Sie, um wie viele Menschen die Weltbevölkerung voraussichtlich im Jahr 2017 zunehmen wird. (2 BE)

    4. Bestimmen Sie die Gleichung der Ableitungsfunktion N˙\dot{N} und berechnen Sie N˙(21)\dot{N}(21).Interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang und vergleichen Sie ihn mit Ihrem Ergebnis der Teilaufgabe 2.3. (4 BE)

    5. Bestimmen Sie das Jahr, in dem sich die Weltbevölkerung gegenüber dem 31.12.1995 nach dem Modell von 2.0 verdoppelt haben wird. (3 BE)

    6. Berechnen Sie, welche Bevölkerungszahl sich am Ende des Jahres 2052 ergeben würde, wenn man - in einem anderen Szenario - ab Ende des Jahres 2016 von einer linearen Zunahme um 90 Mio. pro Jahr ausgeht. (3 BE)

  3. 3

    3.0 Gegeben ist die Funktion k:xx24ln(2x+4)k:x \mapsto \frac{x^2}{4\ln(2x + 4)}, ihre Ableitungsfunktion k' und die Funktion h:x1k(x)h:x \mapsto \frac{1}{k(x)} jeweils in ihren maximalen reellen Definitionsmengen.

    3.1 Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Funktion k gilt: Dk=];[{1,5}\mathbb{D}_k=\left] ; \infty \right[ \setminus \left\{-1{,}5\right\}. (3 BE)

    3.2 Ordnen Sie jedem Graphen der Bilder aa, bb und cc einer der Funktionen kk, kk' oder hh zu und begründen Sie Ihre Wahl. (4 BE)

    Bild

    Bild a

    Bild

    Bild b

    Bild

    Bild c

    3.3 Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von k(x)k(x) für xx \rightarrow \infty. (2 BE)


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