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Teil 2 Analysis 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Im R3\mathbb{R}^3 sind der Punkt P(268)P (2 \vert 6 \vert -8), die Gerade g:x=(123)+μ(223)g: \vec{x}= \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\-3\end{pmatrix}+ \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} und die Ebenen Ea:2ax1+ax2x3=4aE_a: 2ax_1+ax_2-x_3 = 4a mit a,μRa, \mu \in \mathbb{R} gegeben.

    1. Geben Sie für a=0a=0 die besondere Lage der Ebene E0E_0 im Koordinatensystem an. Der Punkt PP' ist der an E0E_0 gespiegelte Punkt PP. Geben Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes PP' an. (3 BE)

    2. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen EaE_a und der Geraden gg in Abhängigkeit von aa. (5 BE)

    3. Die Ebene FF enthält den Punkt PP und die Gerade gg. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von FF. (5 BE)

      [Mo¨gliches Ergebnis:  F:2x1+x2+2x3=6]\left[ \text{Mögliches Ergebnis:} \;F:2x_1+x_2+2x_3=-6\right]

    4. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen EaE_a und FF in Abhängigkeit von aa. (5 BE)

    5. Bestimmen Sie für a=1a = 1 die Gleichung der Schnittgeraden ss der beiden Ebenen E1E_1 und FF. (4 BE)

    6. Fertigen Sie eine aussagekräftige Skizze mit E1E_1, FF, gg und ss an. Verwenden Sie dazu kein Koordinatensystem. (3 BE)

  2. 2

    Die drei Zweigwerke UU, VV und WW eines Unternehmens sind nach dem Leontief-Modell miteinander und mit dem Markt wie im nebenstehenden Diagramm dargestellt verflochten. Alle Werte sind in Mengeneinheiten MEME angegeben, mit a,bR+a, b \in \mathbb{R}^+

    Bild
    1. Bestimmen Sie aa, bb und die Inputmatrix AA. (4 BE)

    2. Die Produktionskosten pro MEME betragen im Zweigwerk U 75, €U\ 75,-\ €, in V 80, €V\ 80,-\ € und in W 95, €W\ 95,-\ €. Der Erlös pro MEME auf dem Markt beträgt für die Produkte von Zweigwerk U 215, €U\ 215,-\ €, von V 240, €V\ 240,-\ € und von W 170, €W\ 170,-\ €. Berechnen Sie den Gesamtgewinn GG und erläutern Sie, wie die Geschäftsleitung auf dieses Ergebnis reagieren könnte. (Hinweis: Gesamtgewinn = Gesamterlös – Gesamtkosten) (4 BE)

    3. Aufgrund einer technologischen Umstellung soll das Zweigwerk VV genau 600 ME600\ ME und UU höchstens 580 ME580\ ME produzieren. Untersuchen Sie, ob die Produktionen der Zweigwerke UU und WW so festgelegt werden können, dass dann alle drei Werke gleich viel an den Markt abgeben. (7 BE)


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