Aufgaben zum Differenzen- und Differentialquotient

Intervallgrenzen $a=0;b=3a=0;\; b=3$ Funktion $f(x)=x^2-3f(x)=x^2-3$

Berechne die Funktionswerte für die Intervallgrenzen, indem du in die Funktion einsetzt.

$f(0)=0^2-3=-3f(0)\; =\; 0^2-3=-3$ $f(3)=3^2-3=6f(3)=3^2-3=6$

Setze in den Differenzenquotienten ein, um die Sekantensteigung zu bestimmen.

${\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}={\displaystyle \frac{6-(-3)}{3-0}}=3\backslash dfrac\; \{f(b)-f(a)\}\{b-a\}=\backslash dfrac\{6-(-3)\}\{3-0\}\; =\; 3$

Der Differenzenquotient hat den Wert 3.

Intervallgrenzen $a=-1a=-1$; $b=1b=1$ Funktion $f(x)=x^5-3x^3+2x^2-x+\mathrm{7,5}f(x)=x^5-3x^3+2x^2-x+7\{,\}5$

Berechne die Funktionswerte für die Intervallgrenzen, indem du in die Funktion einsetzt.

$f(-1)=f(-1)=$ $(-1{)}^5-3\cdot (-1{)}^3+2\cdot (-1{)}^2-(-1)+\mathrm{7,5}(-1)^5-3\backslash cdot\; (-1)^3+2\backslash cdot\; (-1)^2-(-1)+7\{,\}5$$=\mathrm{12,5}=12\{,\}5$

$f(1)=f(1)=$ $1^5-3\cdot 1^3+2\cdot 1^2-1+\mathrm{7,5}1^5-3\backslash cdot\; 1^3+2\backslash cdot\; 1^2-1+7\{,\}5$$=\mathrm{6,5}=6\{,\}5$

Setze in den Differenzenquotient ein, um die Sekantensteigung zu bestimmen.

${\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,5}-\mathrm{12,5}}{1-(-1)}}={\displaystyle \frac{-6}{2}}=-3\backslash dfrac\; \{f(b)-f(a)\}\{b-a\}=\backslash dfrac\{6\{,\}5-12\{,\}5\}\{1-(-1)\}=\backslash dfrac\; \{-6\}\{2\}=-3$

Der Differenzenquotient hat den Wert -3

Intervallgrenzen $a=4;b=\mathrm{6,25}a=4;\; b=6\{,\}25$ Funktion $f(x)=\sqrt{x}f(x)=\backslash sqrt\; x$

Berechne die Funktionswerte für die Intervallgrenzen, indem du in die Funktion einsetzt.

$f(4)=\sqrt{4}=2f(4)\; =\; \backslash sqrt\; 4=2$ $f(\mathrm{6,25})=\sqrt{\mathrm{6,25}}=\mathrm{2,5}f(6\{,\}25)=\backslash sqrt\{6\{,\}25\}=2\{,\}5$

Setze in den Differenzenquotient ein, um die Sekantensteigung zu bestimmen.

${\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}-2}{\mathrm{6,25}-4}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{\mathrm{2,25}}}={\displaystyle \frac{2}{9}}\backslash dfrac\; \{f(b)-f(a)\}\{b-a\}=\backslash dfrac\{2\{,\}5\; -\; 2\}\{6\{,\}25\; -\; 4\}\; =\; \backslash dfrac\{0\{,\}5\}\{2\{,\}25\}\; =\; \backslash dfrac\; 2\; 9$

Der Differenzenquotient hat den Wert $\frac{2}{9}\backslash frac\; 2\; 9$.

Intervallgrenzen $a=3;b=4a=3;\; b=4$ Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{x+3}{x-2}}f(x)=\backslash dfrac\{x+3\}\; \{x-2\}$

Berechne die Funktionswerte für die Intervallgrenzen, indem du in die Funktion einsetzt.

$f(3)={\displaystyle \frac{3+3}{3-2}}={\displaystyle \frac{6}{1}}=6f(3)=\backslash dfrac\{3+3\}\{3-2\}=\backslash dfrac\{6\}\{1\}=6$ und $f(4)={\displaystyle \frac{4+3}{4-2}}={\displaystyle \frac{7}{2}}=\mathrm{3,5}f(4)=\; \backslash dfrac\{4+3\}\{4-2\}=\backslash dfrac\; 7\; 2\; =\; 3\{,\}5$

Setze in den Differenzenquotient ein, um die Sekantensteigung zu bestimmen.

${\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,5}-6}{4-3}}=-\mathrm{2,5}\backslash dfrac\; \{f(b)-f(a)\}\{b-a\}=\backslash dfrac\; \{3\{,\}5-6\}\{4-3\}=-2\{,\}5$

Der Wert des Differenzenquotienten ist $-\mathrm{2,5}-2\{,\}5$.