Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Eine Kugel besitzt den Mittelpunkt $M (- 3 ∣ 2 ∣ 7)$ . Der Punkt $P (3 ∣ 4 ∣ 4)$ liegt auf der Kugel.
a) Der Punkt $Q$ liegt ebenfalls auf der Kugel, die Strecke $[P Q]$ verläuft durch deren Mittelpunkt. Ermitteln Sie die Koordinaten von $Q$ . (3 BE)
b) Weisen Sie nach, dass die Kugel die $x_{1} x_{2}$ -Ebene berührt. (2 BE)

Teilaufgabe a)
Zur Lösung der Aufgabe genügt es eine Vorstellung von der Lage der 3 Punkte $P$ , $M$ und $Q$ zu haben. Vielleicht machst Du Dir dazu eine Planfigur, ähnlich der nachfolgenden Abbildung:
Zum Punkt $Q$ zeigt der Ortsvektor $\vec{q}=\vec{p}+2\cdot\overrightarrow{PM}$ :
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {clc} \vec{q} &= \vec{p}+2\cdot\overrightarrow{PM} \\ &= \begin{pmatrix}3\\4\\4\end{pmatrix} +2\cdot \begin{pmatrix}-3-3\\2-4\\7-4\end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix}3\\4\\4\end{pmatrix} +2\cdot \begin{pmatrix}-6\\-2\\3\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}-9\\0\\10\end{pmatrix} \end{array}$
Das Vorgehen ist übrigens genauso, wie bei der Bestimmung des Spiegelpunkts bei Spiegelung an einem gegebenen Punkt.
Teilaufgabe b)
Zur Lösung dieser Aufgabe ist ein Verständnis der besonderen Ebenen, hier der Koordinaten-Ebenen, erforderlich und natürlich das Vorstellungsvermögen von der gegenseitigen Lage der typischen Objekte im Dreidimensionalen.
$x_{1} - x_{2}$ -Koordinatenebene
Das kennzeichnende dieser Koordinatenebene ist, dass ihre $x_{3}$ -Koordinate 0 ist, der Rest ist unbestimmt ("egal"). Genauso schreibt man es hin: $x_{3} = 0$ .
Abstand von der $x_{1} - x_{2}$ -Koordinatenebene
Wenn die Kugel die $x_{1} - x_{2}$ -Ebene gerade berührt, dann muss der Mittelpunkt der Kugel gerade in der Entfernung des Kugelradius von der $x_{1} - x_{2}$ -Ebene sein. Die $x_{3}$ -Koordinate des Mittelpunkts $M$ beträgt $7$ . Der Mittelpunkt ist also $7$ Längeneinheiten von der $x_{1} - x_{2}$ -Ebene entfernt.
Die nachfolgende Skizze zeigt, wie man sich den Zusammenhang mit einer einfachen Planfigur klar machen kann:
Bleibt noch zu zeigen, dass der Kugelradius auch gerade den Wert $7$ hat:
Bestimmung des Kugelradius
Hierzu wird der Abstand des Punktes $P$ vom Kugelmittelpunkt $M$ berechnet:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {clc} r &= d(P,M) \\&= \left|\begin{pmatrix}-6\\-2\\3\end{pmatrix}\right| \\&= \sqrt{(-6)^2+(-2)^2}+3^2 \\ &= \sqrt{49} =7\end{array}$
Der Radius der Kugel ist also genauso groß wie die $x_{3}$ -Koordinate ihres Mittelpunkts. Damit ist die Behauptung bewiesen.

Die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\2 \end{pmatrix}$ , $\vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0 \end{pmatrix}$ und $\vec{c}_t=\begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t \end{pmatrix}$ spannen für jeden Wert von $t\in\mathbb R\setminus\{0\}$ einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von $t$ .

Zeigen Sie, dass die aufgespannten Körper Quader sind. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorprodukt
Zum Thema senkrecht sollten Dir zwei Dinge einfallen: Skalarprodukt und Vektorprodukt!
Lösungsmöglichkeit 1
Die Vektoren stehen aufeinander senkrecht, wenn deren Skalarprodukt $0$ ist. Zeige also mit dem Skalarprodukt, dass
$\vec{a}\perp \vec{b}$ ,
$\vec{b}\perp \vec{c}_t$ und
$\vec{c}_t\perp \vec{a}$
zu 1.
$\vec a\circ\vec b = \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix} = 2\cdot (-1) + 1\cdot 2 + 2\cdot 0 = -2+2+0=0$
$\Rightarrow \vec{a}\perp \vec{b}$
zu 2.
$\vec b\circ\vec c_t = \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix} = (-1)\cdot 4t + 2\cdot 2t + 0\cdot (-5t) = -4t+4t+0=0$
$\Rightarrow\vec{b}\perp\vec{c_t}$
zu 3.
$\vec c_t\circ\vec a = \begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} = 4t\cdot 2 + 2t\cdot 1 + (-5t)\cdot 2 = 8t+2t-10t=0$
$\Rightarrow\vec{c_t}\perp\vec{a}$
Weil alle Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist der obige Körper ein Quader.
Lösungsmöglichkeit 2
Bestimme wie in Lösungsmöglichkeit 1
das Skalarprodukt von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und zeige, dass die beiden Vektoren aufeinander senkrecht stehen.
Berechne danach das Vektorprodukt von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und zeige, dass der berechnete Vektor ein Vielfaches von $\vec{c_t}_{ }$ ist .
$\vec{a}\circ\vec{b}=\ 0\$ (wie oben gezeigt)
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccc} \vec{a}\times\vec{b} &=& \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix} \\ &=&\begin{pmatrix}1\cdot 0-2\cdot 2\\ 2\cdot (-1)-2\cdot 0\\2\cdot 2-1\cdot (-1)\end{pmatrix} \\&=& \begin{pmatrix}-4\\-2\\5\end{pmatrix} \\ \\&=& \dfrac{1} {t} \cdot \vec{c_t} \end{array}$
Der Ergebnisvektor ist bis auf ein Vielfaches gleich dem Vektor $\vec{c}_t$ , also handelt es sich bei dem zu untersuchenden Körper um einen Quader!
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Bestimmen Sie diejenigen Werte von $t$ , für die der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt. (3BE)

Lösungsmöglichkeit 1: Das Spatprodukt

Da der Körper ein Quader ist, beschreibt der Betrag des Spatproduktes sein Volumen. Das setzt man mit $15$ gleich und löst nach $t$ auf:

	$\displaystyle (\vec {a} \times \vec {b}) \cdot \vec {c}$
$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}2 \\1 \\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-1 \\2 \\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4t \\2t \\-5t \end{pmatrix}$
	↓ Kreuzprodukt bilden
$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}(0 - 4) \\(-2 - 0) \\(4 + 1) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4t \\2t \\-5t \end{pmatrix}$
$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}- 4 \\-2 \\5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4t \\2t \\-5t \end{pmatrix}$
	↓ Skalarprodukt berechnen
$=$	$\displaystyle -4 \cdot 4t + (-2) \cdot 2t + 5 \cdot (-5t)$
$=$	$\displaystyle -16t -4t - 25t$
$=$	$\displaystyle -45t$

Das Volumen ist der Betrag des Spatprodukts:

\displaystyle V=|-45t|=45|t|.

Das gesuchte Volumen wird damit verglichen:

\displaystyle 15=45 |t| \Leftrightarrow |t| = \frac{1}{3} \Leftrightarrow t=\pm \frac{1}{3}

Das gesuchte Volumen erhält man also für $t=\dfrac{1}{3}$ oder $t=-\dfrac{1}{3}$ .

Lösungsmöglichkeit 2: Länge der Vektoren

Da es sich um einen Quader handelt, kann man auch die Längen der Vektoren, also der Kanten des Quaders berechnen und sie miteinander multiplizieren.

	$\displaystyle \|\vec a\|$
$=$	$\displaystyle \sqrt{(a_1)^2 + (a_2)^2 + (a_3)^2}$
$=$	$\displaystyle \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}$
$=$	$\displaystyle \sqrt{4 + 1 + 4}$
$=$	$\displaystyle \sqrt{9}$
$=$	$\displaystyle 3$

	$\displaystyle \vec b$
$=$	$\displaystyle \sqrt{(b_1)^2 + (b_2)^2 + (b_3)^2}$
$=$	$\displaystyle \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 0^2}$
$=$	$\displaystyle \sqrt{1 + 4}$
$=$	$\displaystyle \sqrt{5}$

	$\displaystyle \|\vec c \|$
$=$	$\displaystyle \sqrt{(c_1)^2 + (c_2)^2 + (c_3)^2}$
$=$	$\displaystyle \sqrt{(4t)^2 + (2t)^2 + (-5t)^2}$
$=$	$\displaystyle \sqrt{16t^2 + 4t^2 + 25t^2}$
$=$	$\displaystyle \sqrt{45t^2}$
	↓ Die Wurzel eines Quadrats ist der Betrag
$=$	$\displaystyle \sqrt{45}\|t\|$

Jetzt multipliziert man die Längen der Vektoren, setzt sie mit $15$ gleich und löst nach $t$ auf.

$\displaystyle 15$	$=$	$\displaystyle \|\vec a\| \cdot \|\vec b\| \cdot \|\vec c\|$
$\displaystyle 15$	$=$	$\displaystyle 3 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt {45}\|t\|$	$\displaystyle /3$
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle \sqrt{5} \cdot \sqrt {45t^2}$
	↓	$5\cdot45=255=15^2$
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle 15 \|t\|$
$\displaystyle \frac{1}{3}$	$=$	$\displaystyle \|t\|$

Wir erhalten wieder $t=\pm \dfrac{1}{3}$ .

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Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

Teilaufgabe a)

Teilaufgabe b)

x1−x2x_1-x_2x1​−x2​-Koordinatenebene

Abstand von der x1−x2x_1-x_2x1​−x2​-Koordinatenebene

Bestimmung des Kugelradius

Lösungsmöglichkeit 1

Lösungsmöglichkeit 2

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Lösungsmöglichkeit 1: Das Spatprodukt

Lösungsmöglichkeit 2: Länge der Vektoren

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$x_{1} - x_{2}$ -Koordinatenebene

Abstand von der $x_{1} - x_{2}$ -Koordinatenebene