Aufgaben zu Zahlensystemen

Lerne hier unterschiedliche Zahlensysteme näher kennen. Du nutzt unter anderem die Stellenwerttafel, um Zahlen in andere Systeme umzurechnen.

1
Gib folgende römische Zahlen im Dezimalsystem an.
1. $IX$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: römische Zahlen
  Das $X$ steht für $10$ . Ein $I$ links neben dem $X$ bedeutet $10 - 1$ .
  $\Rightarrow$ Die gesuchte Zahl ist $9$ .
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2. $LV$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: römische Zahlen
  Das $L$ steht für $50$ . Ein $V$ rechts neben dem $L$ bedeutet, dass du $5$ addierst.
  $\Rightarrow$ Die gesuchte Zahl ist $50 + 5 = 55$ .
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3. $MMDXL$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: römische Zahlen
  Das $M$ steht für $1000$ , wir haben es zweimal. Ein $D$ rechts neben dem $M$ bedeutet, dass du $500$ addierst.Weil $X$ für eine kleinere Zahl steht als $L$ ziehst du hier wieder ab. $XL$ bedeutet, dass du von der $50$ ( $L$ ) $10$ ( $X$ ) abziehen musst.
  $\Rightarrow$ Die gesuchte Zahl ist also $2 \cdot 1000 + 500 + 50 - 10 = 2540$
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4. $MDIIX$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: römische Zahlen
  Das $M$ steht für $1000$ . Ein $D$ rechts neben dem $M$ bedeutet, dass du $500$ addierst. Weil $I$ für eine kleinere Zahl steht als $X$ und zweimal vorkommt ziehst du hier wieder ab, alo rechnest $10 - 2$ .
  $\Rightarrow$ Die gesuchte Zahl ist also $1000 + 500 + 10 - 2 = 1508$
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2
Sophie wurde am 13.06.2008 geboren. Sie möchte ihren Geburtstag gerne in römischen Zahlen und in der Form Tag/Monat/Jahr angeben. Hilf ihr dabei und trage ihren Geburtstag ohne Leerzeichen und getrennt durch "/" in das Feld ein!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Römische Zahlen
XIII/VI/MMVIII
Umwandeln der Zahlen
3
Wandle vom Binär- ins Dezimalsystsem um und umgekehrt!
1. $(1101)_{2}$ in eine Dezimalzahl
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zahlensysteme
  Die Binärzahlen sind Summen von Zweierpotenzen, also Summen von Zahlen der Form $2^{n}$ .
  Die jeweilige Stelle der Zahl von rechts nach links gelesen und beginnend bei Null steht dabei für den Exponenten.
  Dabei tauchen nur die Zweierpotenzen in der Summe auf, die in der Binärdarstellung auf 1 stehen.
  Hier:
  Die hinterste Ziffer ist mit einer 1 besetzt, liefert also $1 \cdot 2^{1 - 1} = 1 \cdot 2^{0}$ . Die vorletzte Ziffer ist mit 0 besetzt, liefert also $0 \cdot 2^{2 - 1} = 0$ . Die dritte Ziffer von hinten ist eine 1, liefert also $1 \cdot 2^{3 - 1} = 1 \cdot 2^{2}$ . Die vorderste Ziffer (4. von hinten) ist ebenfalls eine 1, also $1 \cdot 2^{4 - 1} = 1 \cdot 2^{3}$ .
  $(1101)_{2} = 2^{3} + 2^{2} + 2^{1} = 8 + 4 + 1 = 13$
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2. $(1010101)_{2}$ ins Dezimalsystem
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zahlensysteme
  Die Binärzahlen sind Summen von Zweierpotenzen, also Summen von Zahlen der Form $2^{n}$ .
  Die jeweilige Stelle der Zahl von rechts nach links gelesen und beginnend bei Null steht dabei für den Exponenten.
  Aufsummiert wird die jeweilige Stelle nur, wenn an der Position eine 1 steht.
  Hier:
  (1010101) $_{2}$ : Die 1. Ziffer von rechts ist mit einer 1 besetzt, liefert also $1 \cdot 2^{0}$ =1. (1010101) $_{2}$ : Die 2. Ziffer von rechts ist mit 0 besetzt, liefert also wegen $0 \cdot 2^{1}$ keinen Beitrag.
  (1010101) $_{2}$ : Die 3. Ziffer von rechts ist mit 1 besetzt, liefert also $1 \cdot 2^{2} = 4$ .
  (1010101) $_{2}$ : Die 4. Ziffer von rechts ist mit 0 besetzt, liefert also wegen $0 \cdot 2^{3}$ keinen Beitrag.
  (1010101) $_{2}$ : Die 5. Ziffer von rechts ist mit 1 besetzt, liefert also $1 \cdot 2^{4} = 16$ .
  (1010101) $_{2}$ : Die 6. Ziffer von rechts ist mit 0 besetzt, liefert also wegen $0 \cdot 2^{1}$ keinen Beitrag.
  (1010101) $_{2}$ : Die 7. Ziffer von rechts ist eine 1, also $1 \cdot 2^{6} = 64$ .
  Insgesamt: $(1010101)_{2} = 2^{6} + 2^{4} + 2^{2} + 2^{0} = 64 + 16 + 4 + 1 = 85$
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3. $(100)_{10}$ ins Binärsystem
  ₂
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zahlensysteme
  Zerlegen in ZweierPotenzen
  Unser Ziel ist es, die Zahl 100 als Zweierpotenz darzustellen. Zunächst suchst du die größte Zweierpotenz, die kleiner als 100 ist. $2^{0} = 1$ , $2^{1} = 2$ , $2^{2} = 4$ $2^{3} = 8$ , $2^{4} = 16$ , $2^{5} = 32$ , $2^{6} = 64$ , $2^{7} = 128 > 100$ .
  Teile durch die größte Zweierpotenz, die noch möglich ist, also $2^{6}$ . Dies ist (ohne führende Nullen betrachtet) die vorderste Ziffer deiner Binärzahl und immer 1:
  $100 : 2^{6} = 100 : 64 = 1$ Rest: $36$ .
  Teile nun den Rest durch die nächstmögliche, größte Zweierpotenz. Dies ist die nächste Ziffer, die in der Binärzahl eine 1 ist:
  $36 : 2^{5} = 36 : 32 = 1$ Rest: $4$
  Wiederhole erneut für diesen Rest:
  $4 : 2^{2} = 4 : 4 = 1$ Rest: $0$
  $\Rightarrow 100 = 2^{6} + 2^{5} + 2^{2}$
  Umwandlung ins Binärsystem
  Besetze bei der Binärzahl also die 3., 6. und 7. Stelle der Binärzahl mit einer 1, den Rest mit Nullen:
  $(100)_{10} = (1100100)_{2}$
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4. $(228)_{10}$ in eine Binärzahl
  ₂
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zahlensysteme
  Zerlegen in Zweierpotenzen
  Unser Ziel ist es, die Zahl 228 als Zweierpotenz darzustellen. Zunächst suchst du die größte Zweierpotenz, die kleiner als 100 ist. $2^{0} = 1$ , $2^{1} = 2$ , $2^{2} = 4$ $2^{3} = 8$ , $2^{4} = 16$ , $2^{5} = 32$ , $2^{6} = 64$ , $2^{7} = 128$ , $2^{8} = 256 > 228$ .
  Teile durch die größte Zweierpotenz, die noch möglich ist, also $2^{7}$ . Dies ist (ohne führende Nullen betrachtet) die vorderste Ziffer deiner Binärzahl und immer 1:
  $228 : 2^{7} = 228 : 128 = 1$ Rest: $100$ .
  Teile nun den Rest durch die nächstmögliche, größte Zweierpotenz. Dies ist die nächste Ziffer, die in der Binärzahl eine 1 ist:
  $100 : 2^{6} = 1$ Rest: $36$
  Wiederhole erneut für den Rest
  $36 : 2^{5} = 36 : 32 = 1$ Rest: $4$
  Wiederhole erneut für diesen Rest:
  $4 : 2^{2} = 4 : 4 = 1$ Rest: $0$
  $\Rightarrow 228 = 2^{7} + 2^{6} + 2^{5} + 2^{2}$
  Umwandlung ins Binärsystem
  Besetze bei der Binärzahl also die 3., 6.,7. und 8. Stelle der Binärzahl mit einer 1, den Rest mit Nullen:
  $(228)_{10} = (11100100)_{2}$
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4
Wie viele Ziffern benötigt man, um die Zahl 324 als Binärzahl darzustellen?
9 Ziffern
3 Ziffern
5 Ziffern
10 Ziffern
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zahlensysteme
Die Anzahl der Ziffern, die für die Darstellung einer Dezimalzahl als Binärzahl benötigt wird, entspricht der größten Zweierpotenz, die noch kleiner ist, als die umzuwandelnde Zahl.
Es gilt $2^{8} = 256 < 324$ und $2^{9} = 512 > 324$ $\Rightarrow$ Man benötigt 9 Stellen.
Alternativ und einfacher kannst du die Aufgabe auch mit dem Logarithmus zur Basis 2 Lösen.Er liefert dir das Ergebnis der Exponentialgleichung $2^{x} = 324$ :
$l o g_{2} (324) \approx 8,34$
Da 8 Stellen noch nicht ausreichen, benötigt man also 9 Stellen zur Darstellung.
5
Wie viele Ziffern benötigt man um 1500 als Binärzahl darzustellen?
11 Ziffern
13 Ziffern
8 Ziffern
7 Ziffern
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zahlensysteme
Die Anzahl der Ziffern, die für die Darstellung einer Dezimalzahl als Binärzahl benötigt wird, entspricht der ersten Zweierpotenz, die größer ist als die umzuwandelnde Zahl.
Es gilt $2^{10} = 1024 < 1500$ und $2^{11} = 2048 > 1500$ $\Rightarrow$ Man benötigt 11 Stellen.
Alternativ und einfacher kannst du die Aufgabe auch mit dem Logarithmus zur Basis 2 Lösen.Er liefert dir das Ergebnis der Exponentialgleichung $2^{x} = 324$ :
$l o g_{2} (1500) \approx 10,55$
Da 10 Stellen noch nicht ausreichen, benötigt man also 11 Stellen zur Darstellung.
6
Vervollständige die Tabelle in deinem Heft.
Römische Zahlen
Dezimalsystem
4
VIII
16
XL
146
CD
MMXXI

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Römische Zahlen
Die ausgefüllte Tabelle sieht dann so aus:
Römische Zahlen
Dezimalsystem
IV
4
VIII
8
XVI
16
XL
40
CXLVI
146
CD
400
MMXXI
2021
7
Übertrage die Stellenwerttafel in dein Heft. Schreibe die gegebene Zahl in Ziffern und trage sie in die Stellenwerttafel ein.
1. dreihunderteinundzwanzigtausend
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stellenwerttafel
  Die Zahl mit Ziffern geschrieben lautet: $321 000$
  Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:
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2. zwei Milliarden neunundvierzig Millionen fünftausendundzehn
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stellenwerttafel
  Die Zahl mit Ziffern geschrieben lautet: $2 049 005 010$
  Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:
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3. einundsechzig Billionen fünfundzwanzigtausendeinhundertelf
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stellenwerttafel
  Die Zahl mit Ziffern geschrieben lautet: $61 000 000 025 111$
  Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:
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4. sechshundertneun Milliarden fünfundzwanzig
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stellenwerttafel
  Die Zahl mit Ziffern geschrieben lautet: $609 000 000 025$
  Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:
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8
Übertrage die Stellenwerttafel in dein Heft und trage dann die folgenden Zahlen ein.
1. $5364212$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stellenwerttafel
  Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:
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2. 3 Billionen 999 Millionen 1 Tausend 12
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stellenwerttafel
  Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:
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3. 50 Millionen 331 Tausend 981
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stellenwerttafel
  Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:
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4. 6 Billionen 31 Milliarden 2 Millionen 12 Tausend
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stellenwerttafel
  Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:
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5. 99 Milliarden 990 Millionen 9 Tausend 99
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stellenwerttafel
  Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:
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6. 488 Milliarden 95 Tausend 95
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stellenwerttafel
  Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:
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9
Übertrage die Stellenwerttafel für das Zweiersystem in dein Heft. Die gegebene Dezimalzahl soll in das Zweiersystem umgerechnet werden. Trage die umgerechnete Zahl in die Stellenwerttafel ein.
1. $13$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zahlensysteme
  Vorgehensweise
  1. Suche die größte Zahl aus der Stellenwerttafel des Zweiersystems, die in die $13$ hineinpasst. Das ist hier die $8$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $1$ unter die $8$ .
  2. Berechne die Differenz zwischen $13$ und $8$ . Das ist hier $5$ .
  3. Suche wieder die größte Zahl aus der Stellenwerttafel, die in die $5$ hineinpasst. Das ist hier die $4$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $1$ unter die $4$ .
  4. Berechne die Differenz zwischen $5$ und $4$ . Das ist hier $1$ .
  5. Suche wieder die größte Zahl aus der Stellenwerttafel, die in die $1$ hineinpasst. Das ist hier die $1$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $1$ unter die $1$ .
  6. Es gibt keinen weiteren Rest.
  7. An die nicht besetzte Stelle unter der $2$ wird eine $0$ geschrieben.
  Du hast nun folgendes Ergebnis erhalten:
  $13 = 8 + 4 + 1 = 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = (1101)_{2}$
  Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:
  Andere Möglichkeit der Berechnung:
  $13 : 2 = 6 R 1$
  $6 : 2 = 3 R 0$
  $3 : 2 = 1 R 1$
  $1 : 2 = 0 R 1$
  Lies die Reste von unten nach oben: $(1101)_{2}$
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2. $27$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zahlensysteme
  Vorgehensweise
  1. Suche die größte Zahl aus der Stellenwerttafel des Zweiersystems, die in die $27$ hineinpasst. Das ist hier die $16$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $1$ unter die $16$ .
  2. Berechne die Differenz zwischen $27$ und $16$ . Das ist hier $11$ .
  3. Suche wieder die größte Zahl aus der Stellenwerttafel, die in die $11$ hineinpasst. Das ist hier die $8$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $1$ unter die $8$ .
  4. Berechne die Differenz zwischen $11$ und $8$ . Das ist hier $3$ .
  5. Suche wieder die größte Zahl aus der Stellenwerttafel, die in die $3$ hineinpasst. Das ist hier die $2$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $1$ unter die $2$ .
  6. Berechne die Differenz zwischen $3$ und $2$ . Das ist hier $1$ .
  7. Suche wieder die größte Zahl aus der Stellenwerttafel, die in die $1$ hineinpasst. Das ist hier die $1$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $1$ unter die 1.
  8. Es gibt keinen weiteren Rest.
  9. An die nicht besetzte Stelle unter der $4$ wird eine $0$ geschrieben.
  Du hast nun folgendes Ergebnis erhalten:
  $27 = 16 + 8 + 2 + 1 = 1 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = (11011)_{2}$
  Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:
  Andere Möglichkeit der Berechnung:
  $27 : 2 = 13 R 1$
  $13 : 2 = 6 R 1$
  $6 : 2 = 3 R 0$
  $3 : 2 = 1 R 1$
  $1 : 2 = 0 R 1$
  Lies die Reste von unten nach oben: $(11011)_{2}$
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3. $39$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zahlensysteme
  Vorgehensweise
  1. Suche die größte Zahl aus der Stellenwerttafel des Zweiersystems, die in die $39$ hineinpasst. Das ist hier die $32$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $1$ unter die $32$ .
  2. Berechne die Differenz zwischen $39$ und $32$ . Das ist hier $7$ .
  3. Suche wieder die größte Zahl aus der Stellenwerttafel, die in die $7$ hineinpasst. Das ist hier die $4$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $1$ unter die $4$ .
  4. Berechne die Differenz zwischen $7$ und $4$ . Das ist hier $3$ .
  5. Suche wieder die größte Zahl aus der Stellenwerttafel, die in die $3$ hineinpasst. Das ist hier die $2$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $1$ unter die $2$ .
  6. Berechne die Differenz zwischen $3$ und $2$ . Das ist hier $1$ .
  7. Suche wieder die größte Zahl aus der Stellenwerttafel, die in die $1$ hineinpasst. Das ist hier die $1$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $1$ unter die $1$ .
  8. Es gibt keinen weiteren Rest.
  9. An die nicht besetzten Stellen unter der $16$ und unter der $8$ wird eine $0$ geschrieben.
  Du hast nun folgendes Ergebnis erhalten:
  $39 = 32 + 4 + 2 + 1 = 1 \cdot 32 + 0 \cdot 16 + 0 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = (100111)_{2}$
  Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:
  Andere Möglichkeit der Berechnung:
  $39 : 2 = 19 R 1$
  $19 : 2 = 9 R 1$
  $9 : 2 = 4 R 1$
  $4 : 2 = 2 R 0$
  $2 : 2 = 1 R 0$
  $1 : 2 = 0 R 1$
  Lies die Reste von unten nach oben: $(100111)_{2}$
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4. $56$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zahlensysteme
  Vorgehensweise
  1. Suche die größte Zahl aus der Stellenwerttafel des Zweiersystems, die in die $56$ hineinpasst. Das ist hier die $32$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $1$ unter die $32$ .
  2. Berechne die Differenz zwischen $56$ und $32$ . Das ist hier $24$ .
  3. Suche wieder die größte Zahl aus der Stellenwerttafel, die in die $24$ hineinpasst. Das ist hier die $16$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $1$ unter die $16$ .
  4. Berechne die Differenz zwischen $24$ und $16$ . Das ist hier $8$ .
  5. Suche wieder die größte Zahl aus der Stellenwerttafel, die in die $8$ hineinpasst. Das ist hier die $8$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $1$ unter die $8$ .
  6. Es gibt keinen weiteren Rest.
  7. An die nicht besetzten Stellen unter der $4$ , unter der $2$ und unter der $1$ wird eine $0$ geschrieben.
  Du hast nun folgendes Ergebnis erhalten:
  $56 = 32 + 16 + 8 = 1 \cdot 32 + 1 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = (111000)_{2}$
  Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:
  Andere Möglichkeit der Berechnung:
  $56 : 2 = 28 R 0$
  $28 : 2 = 14 R 0$
  $14 : 2 = 7 R 0$
  $7 : 2 = 3 R 1$
  $3 : 2 = 1 R 1$
  $1 : 2 = 0 R 1$
  Lies die Reste von unten nach oben: $(111000)_{2}$
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