Aufgaben zu Zahlensystemen

Das $\mathrm{X}\backslash mathrm\; X$ steht für $1010$. Ein $\mathrm{I}\backslash mathrm\; I$ links neben dem $\mathrm{X}\backslash mathrm\; X$ bedeutet $10-110-1$.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Die gesuchte Zahl ist $99$.

Das $\mathrm{L}\backslash mathrm\; L$ steht für $5050$. Ein $\mathrm{V}\backslash mathrm\; V$ rechts neben dem $\mathrm{L}\backslash mathrm\; L$ bedeutet, dass du $55$ addierst.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Die gesuchte Zahl ist $50+5=5550+5=55$.

Das $\mathrm{M}\backslash mathrm\; M$ steht für $10001000$, wir haben es zweimal. Ein $\mathrm{D}\backslash mathrm\; D$ rechts neben dem $\mathrm{M}\backslash mathrm\; M$ bedeutet, dass du $500500$ addierst.Weil $\mathrm{X}\backslash mathrm\; X$ für eine kleinere Zahl steht als $\mathrm{L}\backslash mathrm\; L$ ziehst du hier wieder ab.$\mathrm{X}\mathrm{L}\backslash mathrm\; \{XL\}$ bedeutet, dass du von der $5050$ ($\mathrm{L}\backslash mathrm\; L$) $1010$ ($\mathrm{X}\backslash mathrm\; X$) abziehen musst.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Die gesuchte Zahl ist also $2\cdot 1000+500+50-10=25402\backslash cdot\; 1000\; +\; 500\; +\; 50\; -\; 10\; =\; 2540$

Das $\mathrm{M}\backslash mathrm\; M$ steht für $10001000$. Ein $\mathrm{D}\backslash mathrm\; D$ rechts neben dem $\mathrm{M}\backslash mathrm\; M$ bedeutet, dass du $500500$ addierst. Weil $\mathrm{I}\backslash mathrm\{I\}$ für eine kleinere Zahl steht als $\mathrm{X}\backslash mathrm\{X\}$ und zweimal vorkommt ziehst du hier wieder ab, alo rechnest $10-210-2$.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Die gesuchte Zahl ist also $1000+500+10-2=15081000+500+10-2\; =\; 1508$

Die Binärzahlen sind Summen von Zweierpotenzen, also Summen von Zahlen der Form $2^{n}2^n$.

Die jeweilige Stelle der Zahl von rechts nach links gelesen und beginnend bei Null steht dabei für den Exponenten.

Dabei tauchen nur die Zweierpotenzen in der Summe auf, die in der Binärdarstellung auf 1 stehen.

Hier:

Die hinterste Ziffer ist mit einer 1 besetzt, liefert also $1\cdot 2^{1-1}=1\cdot 2^{0}1\backslash cdot\; 2^\{1-1\}=1\backslash cdot2^0$. Die vorletzte Ziffer ist mit 0 besetzt, liefert also $0\cdot 2^{2-1}=00\backslash cdot\; 2^\{2-1\}=0$. Die dritte Ziffer von hinten ist eine 1, liefert also $1\cdot 2^{3-1}=1\cdot 2^{2}1\backslash cdot\; 2^\{3-1\}=1\backslash cdot2^2$. Die vorderste Ziffer (4. von hinten) ist ebenfalls eine 1, also $1\cdot 2^{4-1}=1\cdot 2^{3}1\backslash cdot\; 2^\{4-1\}=1\backslash cdot2^3$.

$(1101{)}_2=2^3+2^2+2^1=8+4+1=13(1101)\_2=2^3+2^2+2^1=8+\; 4+\; 1=\; 13$

Die Binärzahlen sind Summen von Zweierpotenzen, also Summen von Zahlen der Form $2^{n}2^n$.

Die jeweilige Stelle der Zahl von rechts nach links gelesen und beginnend bei Null steht dabei für den Exponenten.

Aufsummiert wird die jeweilige Stelle nur, wenn an der Position eine 1 steht.

Hier:

(1010101)${}_2\_2$: Die 1. Ziffer von rechts ist mit einer 1 besetzt, liefert also $1\cdot 2^{0}1\backslash cdot\; 2^0$=1. (1010101)${}_2\_2$: Die 2. Ziffer von rechts ist mit 0 besetzt, liefert also wegen $0\cdot 2^{1}0\backslash cdot\; 2^1$ keinen Beitrag.

(1010101)${}_2\_2$: Die 3. Ziffer von rechts ist mit 1 besetzt, liefert also $1\cdot 2^2=41\backslash cdot2^2=4$.

(1010101)${}_2\_2$: Die 4. Ziffer von rechts ist mit 0 besetzt, liefert also wegen $0\cdot 2^{3}0\backslash cdot2^3$ keinen Beitrag.

(1010101)${}_2\_2$: Die 5. Ziffer von rechts ist mit 1 besetzt, liefert also $1\cdot 2^4=161\backslash cdot2^4=16$.

(1010101)${}_2\_2$: Die 6. Ziffer von rechts ist mit 0 besetzt, liefert also wegen $0\cdot 2^{1}0\backslash cdot\; 2^1$ keinen Beitrag.

(1010101)${}_2\_2$: Die 7. Ziffer von rechts ist eine 1, also $1\cdot 2^6=641\backslash cdot2^6=64$.

Insgesamt:$(1010101{)}_2=2^6+2^4+2^2+2^0=64+16+4+1=85(1010101)\_2=2^6+2^4+2^2+2^0=64+16+4+1=85$

Zerlegen in ZweierPotenzen

Unser Ziel ist es, die Zahl 100 als Zweierpotenz darzustellen. Zunächst suchst du die größte Zweierpotenz, die kleiner als 100 ist.$2^0=12^0=1$, $2^1=22^1=2$, $2^2=42^2=4$ $2^3=82^3=8$,$2^4=162^4=16$, $2^5=322^5=32$, $2^6=642^6=64$, $2^7=128>1002^7=128>100$.

Teile durch die größte Zweierpotenz, die noch möglich ist, also $2^{6}2^6$. Dies ist (ohne führende Nullen betrachtet) die vorderste Ziffer deiner Binärzahl und immer 1:

$100:2^6=100:64=1100:2^6=100:64=1$ Rest: $3636$.

Teile nun den Rest durch die nächstmögliche, größte Zweierpotenz. Dies ist die nächste Ziffer, die in der Binärzahl eine 1 ist:

$36:2^5=36:32=136:2^5=36:32=1$ Rest: $44$

Wiederhole erneut für diesen Rest:

$4:2^2=4:4=14:2^2=4:4=1$ Rest: $00$

$\Rightarrow 100=2^6+2^5+2^2\backslash Rightarrow\; 100=\; 2^6+2^5+2^2$

Umwandlung ins Binärsystem

Besetze bei der Binärzahl also die 3., 6. und 7. Stelle der Binärzahl mit einer 1, den Rest mit Nullen:

$(100{)}_{10}=(1100100{)}_2(100)\_\{10\}=(1100100)\_2$

Zerlegen in Zweierpotenzen

Unser Ziel ist es, die Zahl 228 als Zweierpotenz darzustellen. Zunächst suchst du die größte Zweierpotenz, die kleiner als 100 ist.$2^0=12^0=1$, $2^1=22^1=2$, $2^2=42^2=4$ $2^3=82^3=8$,$2^4=162^4=16$, $2^5=322^5=32$, $2^6=642^6=64$, $2^7=1282^7=128$,$2^8=256>2282^8=256>228$.

Teile durch die größte Zweierpotenz, die noch möglich ist, also $2^{7}2^7$. Dies ist (ohne führende Nullen betrachtet) die vorderste Ziffer deiner Binärzahl und immer 1:

$228:2^7=228:128=1228:2^7=228:128=1$ Rest: $100100$.

Teile nun den Rest durch die nächstmögliche, größte Zweierpotenz. Dies ist die nächste Ziffer, die in der Binärzahl eine 1 ist:

$100:2^6=1100:2^6=1$ Rest: $3636$

Wiederhole erneut für den Rest

$36:2^5=36:32=136:2^5=36:32=1$ Rest: $44$

Wiederhole erneut für diesen Rest:

$4:2^2=4:4=14:2^2=4:4=1$ Rest: $00$

$\Rightarrow 228=2^7+2^6+2^5+2^2\backslash Rightarrow\; 228=\; 2^7+2^6+2^5+2^2$

Umwandlung ins Binärsystem

Besetze bei der Binärzahl also die 3., 6.,7. und 8. Stelle der Binärzahl mit einer 1, den Rest mit Nullen:

$(228{)}_{10}=(11100100{)}_2(228)\_\{10\}=(11100100)\_2$

Die Zahl mit Ziffern geschrieben lautet: $321000321\backslash ;000$

Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:

Die Zahl mit Ziffern geschrieben lautet: $20490050102\backslash ;049\backslash ;005\backslash ;010$

Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:

Die Zahl mit Ziffern geschrieben lautet: $6100000002511161\backslash ;000\backslash ;000\backslash ;025\backslash ;111$

Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:

Die Zahl mit Ziffern geschrieben lautet: $609000000025609\backslash ;000\backslash ;000\backslash ;025$

Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:

Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:

Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:

Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:

Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:

Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:

Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:

Vorgehensweise

1. Suche die größte Zahl aus der Stellenwerttafel des Zweiersystems, die in die $1313$ hineinpasst. Das ist hier die $88$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $11$ unter die $88$.

2. Berechne die Differenz zwischen $1313$ und $88$. Das ist hier $55$.

3. Suche wieder die größte Zahl aus der Stellenwerttafel, die in die $55$ hineinpasst. Das ist hier die $44$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $11$ unter die $44$.

4. Berechne die Differenz zwischen $55$ und $44$. Das ist hier $11$.

5. Suche wieder die größte Zahl aus der Stellenwerttafel, die in die $11$ hineinpasst. Das ist hier die $11$und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $11$ unter die $11$.

6. Es gibt keinen weiteren Rest.

7. An die nicht besetzte Stelle unter der $22$ wird eine $00$ geschrieben.

Du hast nun folgendes Ergebnis erhalten:

$13=8+4+1=1\cdot 8+1\cdot 4+0\cdot 2+1\cdot 1=(1101{)}_{2}13=8+4+1=1\backslash cdot\; 8+1\backslash cdot\; 4+0\backslash cdot\; 2+1\backslash cdot\; 1=(1101)\_2$

Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:

Andere Möglichkeit der Berechnung:

$13:2=6R113:2=\backslash textcolor\{ff6600\}\{\; 6\; \}\backslash ;\; R\backslash ;\; 1$

$6:2=3R0\backslash ;\; \backslash textcolor\{ff6600\}\{\; 6\; \}:2=\backslash textcolor\{006400\}\{3\; \}\backslash ;\; R\; \backslash ;0$

$3:2=1R1\backslash ;\backslash textcolor\{006400\}\{3\; \}:2=\backslash textcolor\{660099\}\{1\}\backslash ;\; R\; \backslash ;1$

$1:2=0R1\backslash ;\; \backslash textcolor\{660099\}\{1\}:2=0\backslash ;\; R\; \backslash ;1$

Lies die Reste von unten nach oben: $(1101{)}_2(1101)\_2$

Vorgehensweise

1. Suche die größte Zahl aus der Stellenwerttafel des Zweiersystems, die in die $2727$ hineinpasst. Das ist hier die $1616$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $11$ unter die $1616$.

2. Berechne die Differenz zwischen $2727$ und $1616$. Das ist hier $1111$.

3. Suche wieder die größte Zahl aus der Stellenwerttafel, die in die $1111$ hineinpasst. Das ist hier die $88$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $11$ unter die $88$.

4. Berechne die Differenz zwischen $1111$ und $88$. Das ist hier $33$.

5. Suche wieder die größte Zahl aus der Stellenwerttafel, die in die $33$ hineinpasst. Das ist hier die $22$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $11$ unter die $22$.

6. Berechne die Differenz zwischen $33$ und $22$. Das ist hier $11$.

7. Suche wieder die größte Zahl aus der Stellenwerttafel, die in die $11$ hineinpasst. Das ist hier die $11$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $11$ unter die 1.

8. Es gibt keinen weiteren Rest.

9. An die nicht besetzte Stelle unter der $44$ wird eine $00$ geschrieben.

Du hast nun folgendes Ergebnis erhalten:

$27=16+8+2+1=1\cdot 16+1\cdot 8+0\cdot 4+1\cdot 2+1\cdot 1=(11011{)}_{2}27=16+8+2+1=1\backslash cdot16+1\backslash cdot8+0\backslash cdot4+1\backslash cdot2+1\backslash cdot1=(11011)\_2$

Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:

Andere Möglichkeit der Berechnung:

$27:2=13R1\backslash ;\backslash ;27:2=\backslash textcolor\{ff6600\}\{\; 13\; \}\backslash ;\; R\backslash ;\; 1$

$13:2=6R1\backslash textcolor\{ff6600\}\{\; 13\; \}:2=\backslash ;\backslash ;\backslash textcolor\{006400\}\{6\; \}\backslash ;\; R\; \backslash ;1$

$6:2=3R0\backslash ;\backslash ;\backslash textcolor\{006400\}\{6\; \}:2=\backslash ;\backslash ;\backslash textcolor\{660099\}\{3\}\backslash ;\; R\; \backslash ;0$

$3:2=1R1\backslash ;\backslash ;\; \backslash textcolor\{660099\}\{3\}:2=\backslash ;\backslash ;\backslash textcolor\{ff6600\}\{\; 1\; \}\backslash ;\; R\; \backslash ;1$

$1:2=0R1\backslash ;\backslash ;\backslash ;\; \backslash textcolor\{ff6600\}\{\; 1\; \}:2=\backslash ;\backslash ;\{0\; \}\backslash ;\; R\; \backslash ;1$

Lies die Reste von unten nach oben: $(11011{)}_2(11011)\_2$

Vorgehensweise

1. Suche die größte Zahl aus der Stellenwerttafel des Zweiersystems, die in die $3939$ hineinpasst. Das ist hier die $3232$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $11$ unter die $3232$.

2. Berechne die Differenz zwischen $3939$ und $3232$. Das ist hier $77$.

3. Suche wieder die größte Zahl aus der Stellenwerttafel, die in die $77$ hineinpasst. Das ist hier die $44$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $11$ unter die $44$.

4. Berechne die Differenz zwischen $77$ und $44$. Das ist hier $33$.

5. Suche wieder die größte Zahl aus der Stellenwerttafel, die in die $33$ hineinpasst. Das ist hier die $22$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $11$ unter die $22$.

6. Berechne die Differenz zwischen $33$ und $22$. Das ist hier $11$.

7. Suche wieder die größte Zahl aus der Stellenwerttafel, die in die $11$ hineinpasst. Das ist hier die $11$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $11$ unter die $11$.

8. Es gibt keinen weiteren Rest.

9. An die nicht besetzten Stellen unter der $1616$ und unter der $88$ wird eine $00$ geschrieben.

Du hast nun folgendes Ergebnis erhalten:

$39=32+4+2+1=1\cdot 32+0\cdot 16+0\cdot 8+1\cdot 4+1\cdot 2+1\cdot 1=(100111{)}_{2}39=32+4+2+1=1\backslash cdot32+0\backslash cdot16+0\backslash cdot8+1\backslash cdot4+1\backslash cdot2+1\backslash cdot1=(100111)\_2$

Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:

Andere Möglichkeit der Berechnung:

$39:2=19R1\backslash ;\backslash ;39:2=\backslash textcolor\{ff6600\}\{\; 19\; \}\backslash ;\; R\backslash ;\; 1$

$19:2=9R1\backslash textcolor\{ff6600\}\{\; 19\; \}:2=\backslash ;\backslash ;\backslash textcolor\{006400\}\{9\; \}\backslash ;\; R\; \backslash ;1$

$9:2=4R1\backslash ;\backslash ;\backslash textcolor\{006400\}\{9\; \}:2=\backslash ;\backslash ;\backslash textcolor\{660099\}\{4\}\backslash ;\; R\; \backslash ;1$

$4:2=2R0\backslash ;\backslash ;\; \backslash textcolor\{660099\}\{4\}:2=\backslash ;\backslash ;\backslash textcolor\{ff6600\}\{\; 2\; \}\backslash ;\; R\; \backslash ;0$

$2:2=1R0\backslash ;\backslash ;\backslash ;\; \backslash textcolor\{ff6600\}\{\; 2\; \}:2=\backslash ;\backslash ;\backslash textcolor\{006400\}\{1\; \}\backslash ;\; R\; \backslash ;0$

$1:2=0R1\backslash ;\backslash ;\; \backslash textcolor\{006400\}\{\; 1\; \}:2=\backslash ;\backslash ;\{0\; \}\backslash ;\; R\; \backslash ;1$

Lies die Reste von unten nach oben: $(100111{)}_2(100111)\_2$

Vorgehensweise

1. Suche die größte Zahl aus der Stellenwerttafel des Zweiersystems, die in die $5656$ hineinpasst. Das ist hier die $3232$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $11$ unter die $3232$.

2. Berechne die Differenz zwischen $5656$ und $3232$. Das ist hier $2424$.

3. Suche wieder die größte Zahl aus der Stellenwerttafel, die in die $2424$ hineinpasst. Das ist hier die $1616$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $11$ unter die $1616$.

4. Berechne die Differenz zwischen $2424$ und $1616$. Das ist hier $88$.

5. Suche wieder die größte Zahl aus der Stellenwerttafel, die in die $88$ hineinpasst. Das ist hier die $88$ und diese passt einmal hinein. Schreibe in der Stellenwerttafel eine $11$ unter die $88$.

6. Es gibt keinen weiteren Rest.

7. An die nicht besetzten Stellen unter der $44$, unter der $22$ und unter der $11$ wird eine $00$ geschrieben.

Du hast nun folgendes Ergebnis erhalten:

$56=32+16+8=1\cdot 32+1\cdot 16+1\cdot 8+0\cdot 4+0\cdot 2+0\cdot 1=(111000{)}_{2}56=32+16+8=1\backslash cdot32+1\backslash cdot16+1\backslash cdot8+0\backslash cdot4+0\backslash cdot2+0\backslash cdot1=(111000)\_2$

Die ausgefüllte Stellenwerttafel sieht dann so aus:

Andere Möglichkeit der Berechnung:

$56:2=28R0\backslash ;\backslash ;56:2=\backslash textcolor\{ff6600\}\{\; 28\; \}\backslash ;\; R\backslash ;\; 0$

$28:2=14R0\backslash textcolor\{ff6600\}\{\; 28\; \}:2=\backslash textcolor\{006400\}\{14\; \}\backslash ;\; R\; \backslash ;0$

$14:2=7R0\backslash textcolor\{006400\}\{14\}:2=\backslash ;\backslash ;\backslash textcolor\{660099\}\{7\}\backslash ;\; R\; \backslash ;0$

$7:2=3R1\backslash ;\backslash ;\; \backslash textcolor\{660099\}\{7\}:2=\backslash ;\backslash ;\backslash textcolor\{ff6600\}\{\; 3\; \}\backslash ;\; R\; \backslash ;1$

$3:2=1R1\backslash ;\backslash ;\backslash ;\; \backslash textcolor\{ff6600\}\{\; 3\; \}:2=\backslash ;\backslash ;\backslash textcolor\{006400\}\{1\; \}\backslash ;\; R\; \backslash ;1$

$1:2=0R1\backslash ;\backslash ;\; \backslash textcolor\{006400\}\{\; 1\; \}:2=\backslash ;\backslash ;\{0\; \}\backslash ;\; R\; \backslash ;1$

Lies die Reste von unten nach oben: $(111000{)}_2(111000)\_2$