Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 1

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Die Zufallsgröße X kann die Werte 0, 1, 2 und 3 annehmen. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X mit $p_1, p_2 \in [0;1]$ .

Zeigen Sie, dass der Erwartungswert von X nicht größer als 2,2 sein kann. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert

Für den Erwartungswert $E (X)$ der Zufallsgröße $X$ ist bekannt:

\displaystyle E(X)=\sum_{i=0}^nx_i\cdot P(X=x_i)

Im vorliegenden Fall kann man die Summe konkret ausschreiben als:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} E(X) &= 0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3)\\ &= 0\cdot p_1 +1\cdot\frac{3}{10} + 2\cdot\frac{1}{5} + 3\cdot p_2 \end{aligned}

Das es sich bei $X$ um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt, muss die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten gleich $1$ sein:

\displaystyle p_1+0{,}3+0{,}2+p_2=1

Da $p_{1}$ im Erwartungswert ohnehin mit Wert der Zufallsgröße 0 multipliziert wird, kann man $p_{1}$ mit 0 ansetzen, so dass für $p_{2}$ ein möglichst großer Betrag übrig bleibt: $p_2=0{,}5$ . Für den Fall ist der Erwartungswert:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} E(X) &= 0\cdot p_1 +1\cdot 0{,}3 + 2\cdot 0{,}2 + 3\cdot 0{,}5 = 2{,}2 \end{aligned}

Der Erwartungswert ist also maximal 2,2. Er kann nicht größer als 2,2 werden!

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