Entscheide, ob der Graph der Funktion  f  punktsymmetrisch bzgl. des Ursprungs oder achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse ist oder ob keine Symmetrie vorliegt.

%%f(x)=3%%

Symmetrie überprüfen

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Die Funktion ist eine Parallele zur x-Achse ist, und somit sicher achsensymmetrisch zur y-Achse.

In der Funktion %%f(x)=3%% ist %%x%% nicht enthalten. Bekannterweise ist %%x^0=1%%. Wir können die Funktion also folgendermaßen ergänzen: %%f(x)=3\cdot1=3\cdot x^0%%

Der Exponent von %%x%% ist %%0%%, also gerade.

=> Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse

Durch Berechnung

%%f(x)=3%%

Setze %%-x%% in %%f(x)%% ein.

%%f(-x)=3%%

%%f(-x)=f(x)%%

=> Achsensymmetrie zur y-Achse

%%-f(x)=-3%%

%%-f(x)\neq f(x)%%

=> Keine Punktsymmetrie zum Ursprung

%%f(x)=15x%%

Symmetrie überprüfen

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Der Exponent von %%x%% sind ungerade.

%%\Rightarrow%% Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.

Durch Berechnung

%%f(x)=15x%%

Setze %%-x%% in %%f(x)%% ein.

%%f(-x)=15(-x)=-15x%%

%%-f(x)=-15x%%

%%f(-x)=-f(x)%%

=> Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs

%%f(-x)\neq f(x)%%

=> Keine Symmetrie zur y-Achse

%%f(x)=4x+1%%

Symmetrie überprüfen

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Bekannterweise ist %%x^0=1%%. Man kann also die Funktion folgendermaßen ergänzen:

%%f(x)=4x+1\cdot x^0%%

Ein Exponent zur Basis %%x%% ist ungerade, ein Exponent ist gerade.

%%\Rightarrow%% Es liegt keine Achsensymmetrie zur %%y%%-Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.

Durch Berechnung

%%f(x)=4x+1%%

Setze %%-x%% in %%f(x)%% ein.

%%f(-x)=4\cdot(-x)+1=-4x+1%%

Umformen

%%f(-x)\neq f(x)%%

=> Keine Achsensymmetrie zu y-Achse

%%-f(x)=-(4x+1)=-4x-1%%

%%f(-x)\neq-f(x)%%

=> Keine Punktsymmetrie zum Ursprung

%%f(x)=-6x^2%%

Symmetrie überprüfen

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Der Exponent von %%x%% ist gerade.

%%\Rightarrow%% Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse.

Durch Berechnung

%%f(x)=-6x^2%%

Setze %%-x%% in %%f(x)%% ein.

%%f(-x)=-6(-x)^2=-6x^2%%

%%f(-x)=f(x)%%

=> Achsensymmetrie zur y-Achse

%%-f(x)=-(-6x^2)=6x^2%%

%%-f(x)\neq f(-x)%%

=> Keine Punktsymmetrie zum Ursprung.

%%f(x)=6x^3-3,5x%%

Symmetrie überprüfen

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Alle Exponenten von %%x%% sind ungerade.

%%\Rightarrow%% Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.

Durch Berechnung

%%f(x)=6x^3-3,5x%%

Setze %%-x%% in %%f(x)%% ein.

%%f(-x)=6\left(-x\right)^3-3,5\left(-x\right)%%

Umformen.

$$\phantom{f(-x)}=-6x^3+3,5x=(-1)\cdot(6x^3-3,5x)=-f(x)$$

%%\Rightarrow%% Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.

%%f(x)=-4x^4-8%%

Symmetrie überprüfen

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Alle Exponenten zur Basis %%x%% sind gerade.

%%\Rightarrow%% Achsensymmetrie zur %%y%%-Achse.

Durch Berechnung

%%f(x)=-4x^4-8%%

Setze %%-x%% in %%f(x)%% ein.

%%f(-x)=-4\cdot(-x)^4-8%%

Umformen.

$$\phantom{f(-x)}=-4x^4-8=f(x)$$

%%\Rightarrow%% Achsensymmetrie bezüglich der %%y%%-Achse.

%%f(x)=6x^2+10-7x^4%%

Symmetrie überprüfen

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Alle Exponenten zur Basis %%x%% sind gerade.

%%\Rightarrow%% Achsensymmetrie bezüglich der %%y%%-Achse.

Durch Berechnung

%%f(x)=6x^2+10-7x^4%%

Setze %%-x%% in %%f(x)%% ein.

%%f(-x)=6\cdot(-x)^2+10-7\cdot(-x)^4%%

Umformen.

$$\phantom{f(-x)}=6x^2+10-7x^4=f(x)$$

%%\Rightarrow%% Achsensymmetrie zur %%y%%-Achse

%%f(x)=-x^5+2x^4-3x^3+x^2%%

Symmetrie überprüfen

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Da nicht alle Exponenten zur Basis %%x%% ungerade sind, ist %%f%% nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis %%x%% gerade sind, ist %%f%% nicht achsensymmetrisch bezüglich zur %%y%%-Achse.

Insgesamt besitzt %%f%% also keine Symmetrie bezüglich der Koordinatenachsen oder des Ursprungs.

Durch Berechnung

%%f(x)=-x^5+2x^4-3x^3+x^2%%

Setze %%-x%% in %%f(x)%% ein.

%%f(-x)=-(-x)^5+2(-x)^4-3(-x)^3+(-x)^2%%

Umformen.

%%\phantom{f(-x)}=x^5+2x^4+3x^3+x^2%%

Das ist weder %%f%%, noch %%-f%%. Also liegt keine Symmetrie bezüglich der Koordinatenachsen oder des Ursprungs vor.

%%f(x)=(2x-3)^2%%

Symmetrie überprüfen

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

%%f(x)=(2x-3)^2%%

Klammer ausrechnen

%%f(x)=4x^2-12x+9%%

Durch Betrachtung

Die Exponenten zur Basis %%x%% sind sowohl gerade als auch ungerade.

%%\Rightarrow%% Keine Achsensymmetrie zur %%y%%-Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung.

Durch Berechnung

%%f(x)=4x^2-12x+9%%

Setze %%-x%% in %%f(x)%% ein.

%%f(-x)=4(-x)^2-12(-x)+9 %%

Rechne aus

%%f(-x)=4x^2+12x+9%%

%%f(-x)\neq f(x)%%

=> Keine Achsensymmetrie zur y-Achse

%%-f(x)=-(4x^2-12x+9)%%

%%-f(x)= -4x^2+12x-9%%

%%f(-x)\neq -f(x)%%

=> Keine Punktsymmetire zum Ursprung

%%f(x)=x^5(x+3)(x+2)%%

Symmetrie überprüfen

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

%%f(x)=x^5\left(x+3\right)\left(x+2\right)%%

Ausmultiplizieren um die Überprüfung einfacher zu machen.

%%\phantom{f(x)}=(x^6+3x^5)\cdot(x+2)=x^7+2x^6+3x^6+6x^5=x^7+5x^6+6x^5%%

Durch Betrachtung

Da nicht alle Exponenten zur Basis %%x%% ungerade sind, ist %%f%% nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis %%x%% gerade sind, ist %%f%% nicht achsensymmetrisch bezüglich zur %%y%%-Achse.

Insgesamt besitzt %%f%% also keine Symmetrie bezüglich der Koordinatenachsen oder des Ursprungs.

Durch Berechnung

%%f\left(x\right)=x^7+5x^6+6x^5%%

Setze %%-x%% in %%f(x)%% ein.

%%f\left(-x\right)=\left(-x\right)^7+5\left(-x\right)^6+6\left(-x\right)^5%%

Umformen.

%%\phantom{f(-x)}=-x^7+5x^6-6x^5%%

Das ist weder %%f%%, noch %%-f%%. Also liegt keine Symmetrie bezüglich der Koordinatenachsen oder des Ursprungs vor.

%%f(x)=x^7-3x^5+x%%

Symmetrie überprüfen

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Alle Exponenten zur Basis %%x%% sind ungerade.

%%\Rightarrow%% Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.

Durch Berechnung

%%f(x)=x^7-3x^5+x%%

Setze %%-x%% in %%f(x)%% ein.

%%f(-x)=\left(-x\right)^7-3\left(-x\right)^5+\left(-x\right)%%

Umformen.

%%\phantom{f(-x)}=[(-1)\cdot x]^7-3[(-1)\cdot x]^5+(-1)\cdot x%%

%%\phantom{f(-x)}=(-1)^7\cdot x^7-3\cdot(-1)^5\cdot x^5+(-1)\cdot x%%

%%\phantom{f(-x)}=(-1)\cdot x^7-3\cdot(-1)\cdot x^5+(-1)\cdot x%%

$$\phantom{f(-x)}=(-1)\cdot(x^7-3x^5+x)=-f(x)$$

%%\Rightarrow%% Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.

%%f(x)=-\frac23x^5+\frac34x%%

Symmetrie überprüfen

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Alle Exponenten zur Basis %%x%% sind ungerade.

%%\Rightarrow%% Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.

Durch Berechnung

%%f(x)=-\frac23x^5+\frac34x%%

Setze %%-x%% in %%f(x)%% ein.

%%f(-x)=-\frac23(-x)^5+\frac34(-x)%%

Umformen.

%%\phantom{f(-x)}=\frac23x^5-\frac34x%%

Minus ausklammern.

%%\phantom{f(-x)}=-\left(-\frac23x^5+\frac34x\right)=-f(x)%%

%%\Rightarrow%% Der Graph ist Punktsymmetrisch zum Ursprung

%%f(x)=\frac12x^3-\frac12x^2-3%%

Symmetrie überprüfen

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Da nicht alle Exponenten zur Basis %%x%% ungerade sind, ist %%f%% nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Da ebenso nicht alle Exponenten zur Basis %%x%% gerade sind, ist %%f%% nicht achsensymmetrisch bezüglich zur %%y%%-Achse.

Insgesamt besitzt %%f%% also keine Symmetrie bezüglich der Koordinatenachsen oder des Ursprungs.

Durch Berechnung

%%f(x)=\frac12x^3-\frac12x^2-3%%

Setze %%-x%% in %%f(x)%% ein.

%%f(-x)=\frac12\left(-x\right)^3-\frac12(-x)^2-3%%

Umformen.

%%\phantom{f(-x)}=-\frac12x^3-\frac12x-3%%

Das ist weder %%f%%, noch %%-f%%. Also liegt keine Symmetrie bezüglich der Koordinatenachsen oder des Ursprungs vor.