Funktionsgraphen stauchen und strecken

Ähnlich wie sich ein Stück Stoff in verschiedene Richtungen dehnen lässt, lässt sich ein Funktionsgraph in x- und y-Richtung stauchen und strecken.

Das Strecken bzw. Stauchen eines Funktionsgraphen kann man sich folgendermaßen vorstellen:

Der Graph ist auf einem elastischen Stoff gezeichnet. In $y$ -Richtung strecken heißt, den Stoff nach oben und unten zu ziehen, in $x$ -Richtung strecken heißt entsprechend, den Stoff nach links und rechts zu ziehen.

Um den Graphen zu stauchen, "schiebt" man den Stoff zusammen (ohne dass er Falten wirft).

Diese Änderung kann man auch mathematisch am Funktionsterm darstellen.

Streckungs- bzw. Stauchungsfaktor $a$

Wenn die Funktion $f$ in $y$ -Richtung getreckt oder gestaucht werden soll, multipliziert man den Funktionsterm mit einem Faktor $a \neq 0$ . Wenn die Funktion $f$ in $x$ -Richtung gestreckt oder gestaucht werden soll, dividiert man die Variable durch $a \neq 0$ .

Ist $| a | < 1$ spricht man von Stauchen,

ist $| a | > 1$ von Strecken.

Beispiele

BeispielStrecken in $y$ -Richtung

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{3} x + 4,$

Streckungsfaktor (oft auch Streckfaktor genannt) $a = 6$

$\Rightarrow$ $g (x) = a \cdot f (x) = 6 \cdot f (x) = 6 \cdot (x^{2} - \frac{1}{3} x + 4) = 6 x^{2} - 2 x + 24$

BeispielStrecken in $x$ -Richtung

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{3} x + 4,$

Streckungsfaktor (oft auch Streckfaktor genannt) $a = 3$

$\Rightarrow$ $g (x) = f (\frac{x}{a}) = (\frac{x}{3})^{2} - \frac{1}{3} (\frac{x}{3}) + 4 = \frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{9} + 4$

Streckung und Stauchung in $y$ -Richtung

Im Folgenden ist der Graph $G_{f}$ der Ausgangsfunktion $f$ rot eingezeichnet und der gestreckte bzw. gestauchte Graph $G_{g}$ der neuen Funktion $g$ schwarz.

Soll in $y$ -Richtung gestreckt (gestaucht) werden, wird der ganze Funktionsterm mit dem Faktor $a$ multipliziert:

$g (x) = a \cdot f (x)$

Streckfaktor	$a = 1 / 2$	$a = 2$
Funktionsterm d. veränderten Funktion	$g (x) = \frac{1}{2} \cdot f (x)$	$g (x) = 2 \cdot f (x)$
Geometrische Veränderung	Stauchung	Streckung
Graphen

Falls $a$ negativ ist, so wird der Graph zusätzlich noch an der $x$ -Achse gespiegelt.

Streckfaktor	$a = - 2$	$a = - \frac{1}{2}$
Funktionsterm d. veränderten Funktion	$g (x) = - 2 \cdot f (x)$	$g (x) = - \frac{1}{2} \cdot f (x)$
Geometrische Veränderung	Spiegelung an der x-Achse Streckung	Spiegelung an der x-Achse Stauchung
Graphen

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Stauchung und Streckung in $x$ -Richtung

Wie oben ist auch hier der Ausgangsgraph $G_{f}$ rot eingezeichnet und der gestreckte (gestauchte) Graph $G_{g}$ schwarz.

Soll in $x$ -Richtung gestreckt (gestaucht) werden, wird die Variable $x$ durch den Faktor $a$ dividiert.

$g (x) = f (\frac{x}{a})$

Streckfaktor	$a = \frac{1}{2}$	$a = 2$
Funktionsterm d. veränderten Funktion	$g (x) = f (2 \cdot x)$	$g (x) = f (\frac{1}{2} \cdot x)$
Geometrische Veränderung	Stauchung	Streckung
Graphen

Streckfaktor	$a = - 1$	$a = - \frac{1}{2}$
Funktionsterm d. veränderten Funktion	$g (x) = f (- x)$	$g (x) = f (- 2 \cdot x)$
Geometrische Veränderung	Spiegelung an der y-Achse	Spiegelung an der y-Achse Stauchung
Graphen

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Video zur Streckung von Funktionsgraphen

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Funktionsgraphen stauchen und strecken

Streckungs- bzw. Stauchungsfaktor a

Beispiele

Streckung und Stauchung in y-Richtung

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Stauchung und Streckung in x-Richtung

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Streckungs- bzw. Stauchungsfaktor $a$

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