Aufgaben

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: relative Häufigkeit

Die Gesamtzahl der Schüler kann aus der Anzahl der einzelnen Noten ermittelt werden.
3+2+9+6+7+2=293+2+9+6+7+2= 29
Berechne für jede Note die relative Häufigkeit.

Note

relative Häufigkeit

%%1%%

%%\frac3{29}=0{,}1034\approx10\,\% %%

%%2%%

%%\frac2{29}=0{,}06897\approx7\,\% %%

%%3%%

%%\frac9{29}=0{,}3103\approx31\,\% %%

%%4%%

%%\frac6{29}=0{,}2069\approx21\,\% %%

%%5%%

%%\frac7{29}=0{,}2414\approx24\,\% %%

%%6%%

%%\frac2{29}=0{,}06897\approx7\,\% %%

In einem Hörsaal sitzen 150 Studenten. 110 von ihnen sprechen nur Englisch, 20 nur Spanisch und 15 sprechen beide Sprachen.
Wie groß ist die relative Häufigkeit der Studenten, die mindestens eine der beiden Sprachen sprechen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit



Bilde die Summe der Studenten, die Englisch und/oder Spanisch sprechen, geteilt durch die Gesamtanzahl der Studenten.
Relative Häufigkeit:
110+20+15150=14515096,7%\frac{110+20+15}{150}=\frac{145}{150}\approx\mathbf{96}{\boldsymbol,}\mathbf7\,\boldsymbol\% 
Also sprechen ungefähr 96,7 % der Studenten mindestens eine der beiden Sprachen.
Wie groß ist die relative Häufigkeit der Studenten, die keine der beiden Sprachen sprechen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis

Bilde die Summe der Studenten, die Englisch und/oder Spanisch sprechen, teile sie durch die Gesamtanzahl der Studenten und ziehe das Ergebnis von 1 ab.




1110+20+15150=11451501-\frac{110+20+15}{150}=1-\frac{145}{150}
Schreibe auf einen Bruch und wandle am Ende in Prozent um.
1145150=150145150=5150=1303,33%1-\frac{145}{150}=\frac{150-145}{150}=\frac{5}{150}=\frac{1}{30}\approx3{,}33\,\% 

In einer Schulklasse ergaben sich bei einer Mathematikschulaufgabe folgende Noten:

Note

1

2

3

4

5

6

Anzahl der Schüler

1

4

11

8

5

1

Als Notendurchschnitt gibt der Lehrer 3,5 an.

  1. Prüfe, ob der Notendurchschnitt exakt angegeben oder gerundet wurde.

  2. Ermittle die relativen Häufigkeiten der einzelnen Noten und erstelle ein geeignetes Diagramm zur Darstellung der Notenverteilung.

Aufgabe 1

1-mal Note 1

4-mal Note 2

11-mal Note 3

8-mal Note 4

5-mal Note 5

1-mal Note 6

Berechne daraus das arithmetische Mittel.

$$\frac{1\cdot1+2\cdot4+3\cdot11+4\cdot8+5\cdot5+6\cdot1}{1+4+11+8+5+1}$$

Rechne aus und vereinfache.

%%=\frac{105}{30}=3{,}5%%

 

%%\Rightarrow%% Der Notendurchschnitt ist exakt angegeben worden.

Aufgabe 2

Ermittle die relative Häufigkeit der jeweiligen Note, indem du die Häufigkeit der Note durch die Gesamtanzahl der Schüler dividierst.

Note 1: %%\frac1{30}=0{,}0\overline3=3{,}\overline3\,\% %%

 

Note 2: %%\frac4{30}=0{,}1\overline3=13{,}\overline3\,\% %%

 

Note 3: %%\frac{11}{30}=0{,}3\overline6=36{,}\overline6\,\% %%

 

Note 4: %%\frac8{30}=0{,}2\overline6=26{,}\overline6\,\% %%

 

Note 5: %%\frac5{30}=0{,}1\overline6=16{,}\overline6\,\% %%

 

Note 6: %%\frac1{30}=0{,}0\overline3=3{,}\overline3\,\% %%

 

Diagramm:

 

Ein Viertel aller Schüler einer Klasse hat einen Hund, die Hälfte der Schüler hat eine Katze. Kein Schüler hat beide Haustiere. Ermittle den Anteil der Schüler, die keines dieser Haustiere haben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit

Sei xx der Anteil der Schüler, die keines dieser Haustiere haben.
x+14+12=1x + \frac{1}{4}+\frac{1}{2}=1
Die Summe aller relativen Häufigkeiten ergibt 1. Dabei ist 14\frac{1}{4} die relative Häufigkeit der Schüler, die einen Hund haben, und 12\frac{1}{2} die relative Häufigkeit der Schüler, die eine Katze haben.
x=134x=1-\frac34
Nach xx auflösen.
x=14=0,25=25%x=\frac14=0{,}25=25\,\% 

In einer Schulklasse sind 28 Schüler, darunter 12 Mädchen. Bei einer Umfrage gaben 7 Mädchen und 8 Buben an, Sport sei ihr Lieblingsfach.
Ist das Fach Sport laut der Umfrage bei den Mädchen oder bei den Jungen in der Klasse beliebter?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit

Anzahl Mädchen in der Klasse =12=12
Anzahl Jungen in der Klasse =2812=16=28-12=16
Relative Häufigkeit der Mädchen, die am liebsten Sport mögen  =71258%=\frac7{12}\approx58\,\% 
Relative Häufigkeit der Jungen, die am liebsten Sport mögen =816=12=50%=\frac8{16}=\frac12=50\,\% 
\Rightarrow Sport ist bei den Mädchen insgesamt beliebter.
Würfle 100-mal und bestimme die relative Häufigkeit der Augenzahl 6 für
  • die ersten 20,
  • die zweiten 20,
  • die dritten 20,
  • die vierten 20 und
  • die fünften 20 Würfe.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: relative Häufigkeit

Um die relative Häufigkeit deines Ergebnisses zu bestimmen, rechnest du allgemein: 
Anzahl der Zahl 6Wurfanzahl\displaystyle \mathrm{\frac{Anzahl\ der\ Zahl\ 6}{Wurfanzahl}}
Beispielsweise könnte dein Ergebnis so aussehen:

Würfe

Anzahl der 6er

relative Häufigkeit

1 - 20

2

%%\frac2{20}=0{,}1=10\,\% %%

21 - 40

6

%%\frac6{20}=0{,}3=30\,\% %%

41 - 60

4

%%\frac4{20}=0{,}2=20\,\% %%

61 - 80

0

%%\frac0{20}=0\,\% %%

81 - 100

10

%%\frac{10}{20}=0{,}5=50\,\% %%

Als Hausaufgabe sollten die Schüler der Klasse 6 b mindestens 100-mal würfeln und die relativen Häufigkeiten, mit denen die einzelnen Augenzahlen aufgetreten sind, mit Hilfe einer Tabelle oder eines Diagramms darstellen.
Am nächsten Tag vergleichen Manfred, Peter, Klaus und Christian ihre Ergebnisse:
Diagrammarten
Nach einem kurzen Blick in Manfreds Heft sagt Christian: „Du hast wohl in der letzten Mathestunde nicht richtig aufgepasst!“ Wie kommt er dazu?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit

Manfred hat nicht die relativen Häufigkeiten, sondern die absoluten Häufigkeiten angegeben.
Klaus hat genau 200-mal gewürfelt. Wie oft hat er eine „6“ geworfen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit

Klaus hat in 17%17 \% der Fälle eine 66 gewürfelt. Du hast also die relative Häufigkeit gegeben, diese musst du jetzt mit der Gesamtanzahl an Würfen multiplizieren, um die absolute Häufigkeit zu erhalten:
17%200=34\displaystyle 17\% \cdot 200 = 34
Klaus hat also insgesamt 3434 Mal eine 66 gewürfelt.
Peter betrachtet kurz die Diagramme und verkündet dann laut: „Christian hat von uns vier den besten Würfel. Bei ihm fällt am häufigsten die Sechs.“ Wie kommt Peter zu dieser Aussage? Glaubst auch du, dass Christian den besten Würfel hat?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit

Christian hat mit 15=0,2=20%\dfrac{1}{5}=0{,}2=20\,\% den höchsten Anteil von Würfen mit 6 Augen. Bei vielen Würfelspielen wäre er also im Vorteil.
Ob Christian den besten Würfel hat, kann man aber so nicht sagen:
  • Würfeln ist ein Zufallsexperiment, d.h. es ist "normal", dass nicht jeder gleich oft die 6 würfelt
  • Die Jungen haben nicht gleich oft gewürfelt, das macht das vergleichen noch schwieriger
  • Es ist nicht in jedem Spiel besser viele 6er zu würfeln.
Du hast noch weitere Ideen, warum Christian im Vorteil ist oder vielleicht auch nicht? Schreib sie in die Kommentare! :-)

Bestimme die relative Häufigkeit der natürlichen Zahlen von 1 bis 100, die
  1. durch 2
  2. durch 3
  3. durch 2 oder 3 teilbar sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit



Teilaufgabe 1

Bestimme zunächst die Anzahl der Zahlen, die durch 2 teilbar sind.Es sind nur alle geraden Zahlen zwischen 1 und 100 durch 2 teilbar. Das sind 50 Stück. Andere Möglichkeit, auf die 50 Zahlen zu kommen:
Multipliziere die Zahlen 1, 2, 3, …, 50 mit der Zahl 2. Das ergibt die geraden Zahlen kleiner-gleich 100 und das sind wieder 50 Stück.
\Rightarrow Die relative Häufigkeit ist 50100=12=0,5=50%\frac{50}{100}=\frac{1}{2}=0{,}5=50\,\% .

Teilaufgabe 2

Bestimme nun die Anzahl der Zahlen, die durch 3 teilbar sind.
Multipliziere die Zahlen 1, 2, 3, …, 33 mit der Zahl 3. Das ergibt die Zahlen 3, 6, 9, …, 99 kleiner-gleich 100 und das sind 33 Stück.
\Rightarrow Die relative Häufigkeit ist 33100=0,33=33%\frac{33}{100}=0{,}33=33\,\% .

Teilaufgabe 3

Verwende hier die dritte Rechenregel zur relativen Häufigkeit.
hn(AB)=hn(A)+hn(B)hn(AB)h_n(A \cup B) = h_n(A) + h_n(B) - h_n(A \cap B)
Sei AA die Menge der Zahlen, die durch 2 teilbar sind, und BB die Menge der Zahlen, die durch 3 teilbar sind.Dann ist ABA \cup B die gesuchte Menge, es fehlt noch ABA \cap B. Das sind alle Zahlen, die durch 2 und durch 3, also durch 6, teilbar sind. Also multipliziere wieder die Zahlen 1, 2, …, 16 mit der Zahl 6, um alle durch 6 teilbaren Zahlen kleiner 100 zu erhalten. Das sind 16 Stück.
Damit ist die relative Häufigkeit der Zahlen, die durch 2 und/oder 3 teilbar sind
30 Würfe mit einem Würfel ergaben folgendes Ergebnis:

Augen

1

2

3

4

5

6

Anzahl

4

6

2

6

5

7

Überprüfe mit diesen Zahlen die 3. Eigenschaft von relativer Häufigkeit
hn(AB)=hn(A)+hn(B)hn(AB)h_n(A \cup B) = h_n(A) + h_n(B) - h_n(A \cap B)
durch Rechnen.
Benutze dazu diese Ereignisse:
  • AA: Die Menge der Würfe mit maximal 3 Augen.
  • BB: Die Menge der Würfe mit gerader Augenzahl.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit

Überprüfen der 3ten Rechenregel vom Artikel "Relative Häufigkeit" anhand eines Beispiels
A={1,2,3},B={2,4,6}A=\{1,2,3\}, B=\{2,4,6\}
Bestimme die Mengen A und B aus dem Text.
hn(AB)=H(AB)30=H({1,2,3,4,6})30=4+6+2+6+730=2530h_n(A\cup B)=\frac{H(A\cup B)} {30}=\frac{H(\{1,2,3,4,6\})} {30}=\frac{4+6+2+6+7} {30}=\frac{25} {30}
Berechen die relative Häufigkeit von ABA \cup B.
hn(A)=H(A)30=H({1,2,3})30=4+6+230=1230h_n(A)=\frac{H(A)} {30}=\frac{H(\{1,2,3\})} {30}=\frac{4+6+2} {30}=\frac{12} {30}
Berechen die relative Häufigkeit von A.
hn(B)=H(B)30=H({2,4,6})30=6+6+730=1930h_n(B)=\frac{H(B)} {30}=\frac{H(\{2,4,6\})} {30}=\frac{6+6+7} {30}=\frac{19} {30}
Berechen die relative Häufigkeit von B.
hn(AB)=H(AB)30=H({2})30=630h_n(A\cap B)=\frac{H(A\cap B)} {30}=\frac{H(\{2\})} {30}=\frac{6} {30}
Berechen die relative Häufigkeit von ABA \cap B.
hn(AB)=hn(A)+hn(B)hn(AB)h_n(A \cup B) = h_n(A) + h_n(B) - h_n(A \cap B) 2530=1230+1930630\Leftrightarrow\frac{25} {30}=\frac{12} {30}+\frac{19} {30}-\frac{6} {30}2530=2530\Leftrightarrow\frac{25} {30}=\frac{25} {30}
Setze in die Formel ein.
Gleichheit bestätigt die Formel.
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