Aufgaben
Lucia feiert ihren 11. Geburtstag. Sie hat Angelika (A), Boris (B) und Christoph (C) eingeladen. Sie kommen nacheinander. Bestimme anhand eines Baumdiagramms, wie viele und welche Möglichkeiten ihres Eintreffens es gibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abzählen mit Baumdiagrammen

baum
Als erstes kann jeder kommen, es gibt also 3 mögliche erste Besucher.
Anschließend können nur noch diejenigen, die nicht zuerst da waren, eintreffen, also 2 mögliche zweite Besucher.
Für den zuletzt Eintreffenden gibt es nur noch eine Möglichkeit.
\Rightarrow Es gibt 6 Möglichkeiten: {A,B,C}, {A,C,B}, {B,A,C}, {B,C,A}, {C,A,B}, {C,B,A}.

Wie viele gerade zweistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 0, 1, 2, 3 bilden?

 

Mithilfe des Baumdiagramms  verdeutlichen.

 Baumdiagramm

%%L=\left\{10,12,20,22,30,32\right\}%%

 

%%3\cdot2=6%%

0 wird ausgeschlossen, da 0 an der 1. Stelle keine zweistellige Zahl bilden kann. Somit bleiben noch 3 Zahlen für die 1. Stelle. An 2. Stelle können nur noch 2 der 4 Zahlen stehen, da nur 2 gerade sind. Also hat man noch 3 Ziffern für die 1. Stelle und 2 für die 2. Stelle, das heißt, dass es ingesamt 6 Lösungen gibt.

Es lassen sich insgesamt 6 2-stellige, gerade Zahlen bilden.

Wie viele zweistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 bilden, wenn keine Ziffer doppelt vorkommen darf?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stochastik

Mithilfe des Baumdiagramms verdeutlichen.
Baumdiagramm
L={12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43}L=\left\{12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43\right\}
Für die erste Stelle stehen 4 Ziffern zur Verfügung. Bei der zweiten Stelle dürfen nur noch die 3 verbliebenen Ziffern verwendet werden. Damit ergeben sich
43=124\cdot3=12
Kombinationen. Es lassen sich also insgesamt 12 zweistellige Zahlen bilden, die nicht doppelt-ziffrig sind.
Wie viele zweistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 bilden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stochastik

Mithilfe des Baumdiagramms verdeutlichen.
Baumdiagramm
L={11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44}L=\left\{11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44\right\}
Für die erste Stelle stehen 4 Ziffern zur Verfügung. Gleiches gilt für die zweite Ziffer. Insgesamt ergeben sich damit
44=164\cdot4=16
Kombinationen. Es lassen sich also insgesamt 16 zweistellige Zahlen aus den Ziffern 1,2,3 und 4 bilden.
In einer Urne befinden sich eine weiße, eine schwarze, eine rote und eine blaue Kugel. Es werden nacheinander (und ohne Zurücklegen) zwei Kugeln entnommen.
Zeichne ein Baumdiagramm und lies den Ergebnisraum XX dieses Zufallsexperiments ab.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm

Image Title
X={ws;wr;wb;sw;sr;sb;rw;rs;rb;bw;bs;br}X=\{ws; wr; wb; sw; sr; sb; rw; rs; rb; bw; bs; br\}
Ermittle die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A: Keine der gezogenen Kugeln ist rot. B: Unter den gezogenen Kugeln ist eine rote. C: Es werden zwei rote Kugeln gezogen. D: Die gezogenen Kugeln sind weiß und schwarz.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm

Mächtigkeit des Ergebnisraumes: X=12|X|=12

Ereignis A

Es gibt 6 verschiedene Möglichkeiten, dafür, dass keine der gezogenen Kugeln rot ist.
A={ws;wb;sw;sb;bw;bs}A=\{ws; wb; sw; sb; bw; bs\}
P(A)=AX=612=0,5=50%P(A)=\frac{|A|}{|X|}=\frac{6}{12}=0,5=50\%

Ereignis B

Es gibt 6 Möglichkeiten dafür, dass eine rote unter den gezogenen Kugeln ist.
B={wr,sr;rw;rs;rb;br}B=\{wr, sr; rw; rs; rb; br\}
P(B)=BX=612=0,5=50%P(B)=\frac{|B|}{|X|}=\frac{6}{12}=0,5=50\%

Ereignis C

Das Ereignis C ist nicht möglich, weil keine zwei roten Kugeln in der Urne sind. Die Ereignismenge ist also leer.
C={}C=\{\}
P(C)=CX=012=0P(C)=\frac{|C|}{|X|}=\frac0{12}=0% 

Ereignis D

Es gibt zwei Möglichkeiten dafür, dass eine Kugel weiß und eine Kugel schwarz ist.
D={ws;sw}D=\{ws; sw\}
P(D)=DX=2120,167=16,7%P(D)=\frac{|D|}{|X|}=\frac{2}{12}\approx0,167=16,7\%
Gib in Worten ein Ereignis E mit der Wahrscheinlichkeit P(E)=25 %P(E)=25\ \% und ein Ereignis F mit der Wahrscheinlichkeit P(F)=13P(F)=\frac{1}{3}​ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ereignisse bestimmen

Wähle zum Beispiel folgende Ereignisse E und F:
EE: "Die zweite gezogene Kugel ist weiß."

E={sw;rw;bw}E=\{sw; rw; bw\}
P(E)=EX=312=25 %P(E)=\frac{|E|}{|X|}=\frac{3}{12}=25\ \%
FF: "Zuerst wird entweder weiß oder schwarz gezogen, danach entweder rot oder blau."

F={wr;wb;sr;sb}F=\{wr; wb; sr; sb\}
P(F)=FX=412=13P(F)=\frac{|F|}{|X|}=\frac4{12}=\frac13
Eine Münze wird dreimal geworfen. Zeichne für folgende Ereignisse die Baumdiagramme und stelle sie in Mengenschreibweise dar.
(Z steht für Zahl, W für Wappen)
AA: "Zahl erscheint höchstens einmal"

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm

Image Title
A={ZWW;WZW;WWZ;WWW}A=\{ZWW; WZW; WWZ; WWW\}
BB: "Wappen erscheint beim ersten Wurf"

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm

Image Title
B={WZZ;WZW;WWZ;WWW}B=\{WZZ; WZW; WWZ; WWW\}
CC: "Es wird nie Wappen geworfen"

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm

Image Title
C={ZZZ}C=\{ZZZ\}
Eine 1-Euro-Münze, von der wir annehmen, dass sie eine Laplace-Münze ist, wird 3mal geworfen.
Liegt die Eins oben, so werten wir den Wurf als 1, andernfalls als 0.
a) Zeichne einen Baum zu diesem Experiment.
b) Ein mögliches Ergebnis ist 100; ihm ordnen wir die Summe 1+0+0 =1 zu. Welche möglichen Summen treten auf?

Teilaufgabe a

Baumdiagramm

Teilaufgabe b

Es treten als mögliche Summen auf:
  • 0=0+0+00=0+0+0
  • 1=0+0+1=0+1+0=1+0+01=0+0+1=0+1+0=1+0+0
  • 2=0+1+1=1+0+1=1+1+02=0+1+1=1+0+1=1+1+0
  • 3=1+1+13=1+1+1
Zeichne den Baum für den dreifachen Münzenwurf Wappen(W) und Zahl(Z) und bestimme damit die Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm


Baumdiagramm
In einer Urne befinden sich 1 weiße, 2 rote und 3 schwarze Kugeln. Man zieht nacheinander zwei Kugeln einmal ohne Zurücklegen und einmal mit Zurücklegen der Kugel nach jedem Zug. Zeichne jeweils ein Baumdiagramm und gib einen Ergebnisraum und seine Mächtigkeit an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm

1. Ohne Zurücklegen

Baumdiagramm
Schreibe die Ereignisse auf und die gib die Mächtigkeit der Menge an.
Ω\Omega = {(w,r), (w,s), (r,r), (r,w), (r,s), (s,s), (s,w), (s,r)}
Ω=8|\Omega|= 8

2. Mit Zurücklegen

Baumdiagramm
Schreibe die Ereignisse auf und die gib die Mächtigkeit der Menge an.
Ω\Omega = {(w,w), (w,s), (w,r), (r,r), (r,s), (r,w), (s,s), (s,r), (s,w)}
Ω=9|\Omega|= 9

Max und Tim laden ihren Opa zum Kaffeetrinken ein. Sie haben zwei Stühle und drei Hocker. Ihr Opa muss auf jeden Fall auf einem Stuhl sitzen. Damit es gerecht wird, setzt sich keiner der beiden Jungen auf den Stuhl.

Wie viele Sitzmöglichkeiten gibt es?

Abzählen mit dem Baumdiagramm

Am besten legst du dazu ein Baumdiagramm an:
fehlt noch
Für den Opa gibt es 2 Möglichkeiten (nämlich die beiden Stühle).
Für Max gibt es 3 Möglichkeiten (die drei Hocker).
Für Tim gibt es 2 Möglichkeiten (die beiden Hocker, auf denen Max nicht sitzt).
Diese Möglichkeiten musst du multiplizieren.
Ergebnis: Es gibt 12 Möglichkeiten.

Oma hat in einer Schublade 18 blaue und 12 andersfarbige Kugelschreiber. Bei sieben blauen Kugelschreibern und bei fünf der anderen ist die Mine eingetrocknet.

a. Erstelle eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten.

b. Erstelle ein Baumdiagramm, mit dem die Fragen c) und d) beantwortet werden können.

(b=blau ; bn=nicht blau ; s=schreibt ; sn=schreibt nicht)

c. Oma greift ohne hinzusehen in die Schublade und nimmt einen Kugelschreiber heraus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist seine Mine nicht eingetrocknet?

d. Oma hat einen blauen Kugelschreiber aus der Schublade genommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit „schreibt“ er?

Teilaufgabe a

Trage die gegeben Werte in die entsprechenden Felder ein!

%%b%%

%%bn%%

Summe

%%sn%%

7

5

12

%%s%%

18

12

Berechne nun die fehlenden Werte:
%%|S \cap B|=|B|- | \overline{S} \cap B|= 18-7=11%%
Absolute Häufigkeit der Kulis: %%18+12=30%%
%%|S|=30-\overline{S}|=30-12=18%%
%%| S \cap \overline{B}|=|\overline{B}|-|\overline{S}-\overline{B}|=12-5=7%%

So sieht die fertige Vierfeldertafel dann aus :

%%b%%

%%bn%%

Summe

%%sn%%

7

5

12

%%s%%

11

7

18

18

12

30

Teilaufgabe b

 Baumdiagramm

 

Teilaufgabe c

Es muss entweder ein blauer Stift sein, der schreibt %%(b\ s)%%, oder ein andersfarbiger Stift, der schreibt %%(bn\ s)%%.

Lies die Wahrscheinlichkeiten aus dem Baumdiagramm von b) ab und addiere sie für die Gesamtwahrscheinlichkeit (2. Pfadregel).

$$P(s)= P(b\ s)+P(bn\ s)=\frac{11}{30} + \frac7{30}=\frac{18}{30}=\frac35=0,6$$

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 60% Wahrscheinlichkeit ist der Stift nicht eingetrocknet.

Teilaufgabe d

Wahrscheinlichkeiten aus Baumdiagramm von b) ablesen

%%P(s|b)=\frac{11}{18}\approx0,61%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der blaue Stift schreibt zu ca. 61%.

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