Aufgaben
Zwei Vektoren a\overrightarrow{\mathrm a} und b\overrightarrow{\mathrm b} schließen den Winkel α\mathrm\alpha miteinander ein.
Die Vektoren c\vec c und d\vec d setzen sich aus a\vec a und b\vec b wie folgt zusammen: 
c=a+b\overrightarrow c=\overrightarrow a+\overrightarrow b und d=ab\overrightarrow d=\overrightarrow a-\overrightarrow b
Die Vektoren a\vec a und c\vec c schließen den Winkel β\beta ein. Die Vektoren d\vec d und a\vec a schließen den Winkel γ\gamma ein.
Betrachte die folgenden Angaben zu a\left|\vec{a}\right|, b\left|\vec{b}\right| unc α\alpha.
1) Zeichne die Vektoren. Die Richtung der Vektoren ist hierbei egal. Nur deren Länge und eingeschlossener Winkel α\alpha.
2) Bestimme zeichnerisch die Länge von c \vec c und d\vec d.
3) Lies aus deiner Zeichnung die Winkel β\beta und γ\gamma ab.
4) Berechne die Länge von c\vec c und d\vec d.
5) Berechne die Winkel β\beta und γ\gamma.
Alle Längeneinheiten sind in cm\text{cm} angegeben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren

1) Vektoren zeichnen

Zeichne zunächst Vektor a\overrightarrow{\mathrm a} ein. Die Richtung ist egal. Entscheidend ist die Länge von 4,6.
Zeichne dann den Vektor b\overrightarrow{\mathrm b} im Winkel von α=60\mathrm\alpha=60^\circan den Fuß von Vektor a\overrightarrow{\mathrm a} ein. Der Winkel wird gegen den Uhrzeigersinn gemessen.
Nun fehlen noch die Vektoren c\vec c und d\vec d, welche durch Vektoraddition bzw. Vektorsubtraktion entstehen.
Zeichnet man Vektor b\overrightarrow{\mathrm b} im selben Winkel und mit derselben Länge an die Spitze von Vektora\overrightarrow{\mathrm a}, so erhalten wir ein Parallelogramm, welches in der Diagonale den Vektor a+b=c\overrightarrow{\mathrm a}+\overrightarrow{\mathrm b}=\overrightarrow{\mathrm c} besitzt.
Zeichnet man Vektor b\overrightarrow{\mathrm b} nun im selben Winkel und mit derselben Länge - aber in entgegengesetzter Richtung - an die Spitze von a\overrightarrow{\mathrm a} ein, so erhält man vom Fuß von a\overrightarrow{\mathrm a} bis zur Spitze von b-\overrightarrow{\mathrm b} den Vektor ab=d\overrightarrow{\mathrm a}-\overrightarrow{\mathrm b}=\overrightarrow{\mathrm d}.
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2) c|\vec c| und d|\vec d| zeichnerisch bestimmen

Nun kannst du die Länge von c\vec c und d\vec d aus der Zeichnung ablesen:
c7,4|\vec c|\approx7,4 und d4,3|\vec d|\approx4,3

3) β\beta und γ\gamma aus der Zeichnung ablesen

Miss die Winkel β\beta und γ\gamma ab:
β27,7\mathrm\beta\approx27,7^\circ
γ53,1\mathrm\gamma\approx53,1^\circ

4) c|\vec c| und d|\vec d| rechnerisch betimmen

Verwende den Kosinussatz:
c2=a2+b22abcos(120)      c=c7,454c^2=a^2+b^2-2{ab}\cdot\cos\left(120^\circ\right)\;\Rightarrow\;\;c=\left|\overrightarrow{c}\right|\approx7,454
d2=a2+b22abcos(60)      d=d4,331d^2=a^2+b^2-2{ab}\cdot\cos\left(60^\circ\right)\;\Rightarrow\;\; d=\left|\overrightarrow{d}\right|\approx4,331

5) β\beta und γ\gamma rechnerisch bestimmen

Für die Winkel β  \mathrm\beta\; und γ\gamma kann man sich wieder den Kosinussatz zu nutze machen:

b2=a2+c22accos(β)        cos(β)=a2+c2b22ac        β27,693\begin{array}{l} b^2=a^2+c^2-2\mathrm{ac}\cdot\cos\left(\mathrm\beta\right)\\\;\;\Rightarrow\;\;\cos\left(\beta\right)=\frac{a^2+c^2-b^2}{2{ac}}\\\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm\beta\approx27,693^\circ\end{array}

b2=a2+d22adcos(γ)        cos(γ)=a2+d2b22ad        γ53,11\begin{array}{l}b^2=a^2+d^2-2{ad}\cdot\cos\left(\gamma\right)\\\;\;\Rightarrow\;\;\cos\left(\gamma\right)=\frac{a^2+d^2-b^2}{2{ad}}\\\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm\gamma\approx53,11^\circ\end{array}
a=a=4,7\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|=\mathrm a=4,7 ; b=b=3,2\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|=\mathrm b=3,2 ; α=(a,b)=250\mathrm\alpha=\sphericalangle\left(\overrightarrow{\mathrm a},\overrightarrow{\mathrm b}\right)=250^\circ

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren

1) Vektoren zeichnen

Zeichne zunächst Vektor a\overrightarrow{\mathrm a} ein. Richtung ist egal. Entscheident ist die Länge von 4,7.
Dann zeichnet man den Vektor b\overrightarrow{\mathrm b} im Winkel von α=250\mathrm\alpha=250^\circ gegen den Uhrzeigersinn an den Fuß von Vektor  a\overrightarrow{\mathrm a} ein.
Nun fehlen noch die Vektoren c\vec c und d\vec d, welche durch Vektoraddition bzw. Vektorsubtraktion entstehen.
Zeichnet man Vektor  b\overrightarrow{\mathrm b} nun im selben Winkel und mit der selben Länge an die Spitze von Vektor  a\overrightarrow{\mathrm a} so erhalten wir ein Parralelogramm, dass in der Diagonale den Vektor a+b=c\overrightarrow{\mathrm a}+\overrightarrow{\mathrm b}=\overrightarrow{\mathrm c} besitzt.
Zeichnet man Vektor  b\overrightarrow{\mathrm b} nun im selben Winkel und mit der selben Länge, aber in der entgegengesetzten Richtung ein, so erhält man vom Fuß von  a\overrightarrow{\mathrm a} bis zur Spitze von - b\overrightarrow{\mathrm b} den Vektor ab=d\overrightarrow{\mathrm a}-\overrightarrow{\mathrm b}=\overrightarrow{\mathrm d} .
Geogebra File: /uploads/legacy/5734_X8J4i7Y4gG.xml

2) c\overrightarrow{\mathrm c} und d\overrightarrow{\mathrm d} zeichnerisch bestimmen

Messe die Länge der Vektoren c  und  d\overrightarrow{\mathrm c}\;\mathrm{und}\;\overrightarrow{\mathrm d} ab.
c4,7\left|\overrightarrow{\mathrm c}\right|\approx4,7
d6,5\left|\overrightarrow{\mathrm d}\right|\approx6,5

3) β\beta und γ\gamma aus der Zeichnung ablesen

Miss die Winkel β\beta und γ\gamma ab:
β39,8\mathrm\beta\approx39,8^\circ
γ27,4\mathrm\gamma\approx27,4^\circ

4) c|\vec c| und d|\vec d| rechnerisch bestimmen

Geogebra File: /uploads/legacy/5740_eCz5fqGIjD.xml
Zunächst müssen wir die Winkel an der Spitze von a ermitteln.
Dafür brauchen wir den Winkel den b im Uhrzeigesinn von a entfernt ist. Dieser beträgt α180=70\mathrm\alpha-180^\circ=70^\circ .
Durch den Z-Winkel sind nun an der Spitze von a unten 70° vorzufinden und oben 110°, da diese beiden Winkel insgesamt 180° ergeben müssen.
Gesucht ist nun erst mal die Seite c. Um diese zu berechnen benutzen wir den Kosinussatz über die Seiten a und b und dem Winkel von 70°.
Um d zu berechnen gehen wir genauso vor. Wir rechnen mit dem Kosinussatz über die Seiten a und b und dem Winkel von 110°.
c²=a²+b²2abcos(70)      c=c4,695\mathrm c²=\mathrm a²+\mathrm b²-2\mathrm{ab}\cdot\cos\left(70^\circ\right)\;\Rightarrow\;\;\mathrm c=\left|\overrightarrow{\mathrm c}\right|\approx4,695
d²=a²+b²2abcos(110)      d=d6,528\mathrm d²=\mathrm a²+\mathrm b²-2\mathrm{ab}\cdot\cos\left(110^\circ\right)\;\Rightarrow\;\;\mathrm d=\left|\overrightarrow{\mathrm d}\right|\approx6,528

5) β\beta und γ\gamma rechnerisch bestimmen

Für die Winkel β  und  γ\mathrm\beta\;\mathrm{und}\;\mathrm\gamma kann man sich wieder den Kosinussatz zu nutze machen.
Hierfür rechnen wir erst b über c, a und dem Winkel β\mathrm\beta und formen dann nach cos(β)\cos\left(\mathrm\beta\right) um.
Das selbe machen wir mit cos(γ)\cos\left(\mathrm\gamma\right).
b²=a²+c²2accos(β)        cos(β)=a²+c²b²2ac        β39,828\begin{array}{l}\mathrm b²=\mathrm a²+\mathrm c²-2\mathrm{ac}\cdot\cos\left(\mathrm\beta\right)\\\;\;\Rightarrow\;\;\cos\left(\mathrm\beta\right)=\frac{\mathrm a²+\mathrm c²-\mathrm b²}{2\mathrm{ac}}\\\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm\beta\approx39,828^\circ\end{array}
  
b²=a²+d²2adcos(γ)        cos(γ)=a²+d²b²2ad        γ27,427\begin{array}{l}\mathrm b²=\mathrm a²+\mathrm d²-2\mathrm{ad}\cdot\cos\left(\mathrm\gamma\right)\\\;\;\Rightarrow\;\;\cos\left(\mathrm\gamma\right)=\frac{\mathrm a²+\mathrm d²-\mathrm b²}{2\mathrm{ad}}\\\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm\gamma\approx27,427^\circ\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren

1) Vektoren zeichnen

Zeichne zunächst Vektor a\overrightarrow{\mathrm a} ein. Richtung ist egal. Entscheident ist die Länge von 3,5.
Dann zeichnet man den Vektor b\overrightarrow{\mathrm b} im Winkel von α=290\mathrm\alpha=290^\circ gegen den Uhrzeigersinn an den Fuß von Vektor  a\overrightarrow{\mathrm a} ein.
Nun fehlen noch die Vektoren c\vec c und d\vec d, welche durch Vektoraddition bzw. Vektorsubtraktion entstehen.
Zeichnet man Vektor  b\overrightarrow{\mathrm b} nun im selben Winkel und mit der selben Länge an die Spitze von Vektor  a\overrightarrow{\mathrm a} so erhalten wir ein Parralelogramm, dass in der Diagonale den Vektor a+b=c\overrightarrow{\mathrm a}+\overrightarrow{\mathrm b}=\overrightarrow{\mathrm c} besitzt.
Zeichnet man Vektor  b\overrightarrow{\mathrm b} nun im selben Winkel und mit der selben Länge, aber in der entgegengesetzten Richtung ein, so erhält man vom Fuß von  a\overrightarrow{\mathrm a} bis zur Spitze von - b\overrightarrow{\mathrm b} den Vektor ab=d\overrightarrow{\mathrm a}-\overrightarrow{\mathrm b}=\overrightarrow{\mathrm d} .
Geogebra File: /uploads/legacy/6256_GAPZpM8iwL.xml

2) c|\vec c| und d|\vec d| zeichnerisch bestimmen

Messe die Länge der Vektoren c  und  d\overrightarrow{\mathrm c}\;\mathrm{und}\;\overrightarrow{\mathrm d} ab.
c6,3\left|\overrightarrow{\mathrm c}\right|\approx6,3
d4,5\left|\overrightarrow{\mathrm d}\right|\approx4,5


3) β\beta und γ\gamma aus der Zeichnung ablesen

Miss die Winkel β\beta und γ\gamma ab:
β38,6\mathrm\beta\approx38,6^\circ
γ62,3\mathrm\gamma\approx62,3^\circ

4) c|\vec c| und d|\vec d| rechnerisch bestimmen

c\overrightarrow{\mathrm c} und d\overrightarrow{\mathrm d} rechnerisch bestimmen mit Kosinussatz
Geogebra File: /uploads/legacy/6260_JEW3iIaiS2.xml
Zunächst müssen wir die Winkel an der Spitze von a ermitteln.
Dafür brauchen wir den Winkel den b im Uhrzeigesinn von a entfernt ist. Dieser beträgt α180=110\mathrm\alpha-180^\circ=110^\circ .
Durch den Z-Winkel sind nun an der Spitze von a unten 110° vorzufinden und oben 70°, da diese beiden Winkel insgesamt 180° ergeben müssen.
Gesucht ist nun erst mal die Seite c. Um diese zu berechnen benutzen wir den Kosinussatz über die Seiten a und b und dem Winkel von 110°.
Um d zu berechnen gehen wir genauso vor. Wir rechnen mit dem Kosinussatz über die Seiten a und b und dem Winkel von 70°.
c²=a²+b²2abcos(110)      c=c6,32\mathrm c²=\mathrm a²+\mathrm b²-2\mathrm{ab}\cdot\cos\left(110^\circ\right)\;\Rightarrow\;\;\mathrm c=\left|\overrightarrow{\mathrm c}\right|\approx6,32
d²=a²+b²2abcos(70)      d=d4,454\mathrm d²=\mathrm a²+\mathrm b²-2\mathrm{ab}\cdot\cos\left(70^\circ\right)\;\Rightarrow\;\;\mathrm d=\left|\overrightarrow{\mathrm d}\right|\approx4,454

5) β\beta und γ\gamma rechnerisch bestimmen

Für die Winkel β  und  γ\mathrm\beta\;\mathrm{und}\;\mathrm\gamma kann man sich wieder den Kosinussatz zu nutze machen.
Hierfür rechnen wir erst b über c, a und dem Winkel β\mathrm\beta und formen dann nach cos(β)\cos\left(\mathrm\beta\right) um.
Das selbe machen wir mit cos(γ)\cos\left(\mathrm\gamma\right) .
b²=a²+c²2accos(β)        cos(β)=a²+c²b²2ac        β38,642\begin{array}{l}\mathrm b²=\mathrm a²+\mathrm c²-2\mathrm{ac}\cdot\cos\left(\mathrm\beta\right)\\\;\;\Rightarrow\;\;\cos\left(\mathrm\beta\right)=\frac{\mathrm a²+\mathrm c²-\mathrm b²}{2\mathrm{ac}}\\\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm\beta\approx38,642^\circ\end{array}
  
b²=a²+d²2adcos(γ)        cos(γ)=a²+d²b²2ad        γ62,397\begin{array}{l}\mathrm b²=\mathrm a²+\mathrm d²-2\mathrm{ad}\cdot\cos\left(\mathrm\gamma\right)\\\;\;\Rightarrow\;\;\cos\left(\mathrm\gamma\right)=\frac{\mathrm a²+\mathrm d²-\mathrm b²}{2\mathrm{ad}}\\\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm\gamma\approx62,397^\circ\end{array}
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