Aufgaben
Gib den Term einer (möglichst einfachen) gebrochen rationalen Funktion f an, die folgende Eigenschaften besitzt.
  • Der Graph von ff berührt die x-Achse an der Stelle x=1x=-1;
  • die Funktion ff hat die Polstelle x=3x=3.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion

Überlege dir die Form einer gebrochen-rationalen Funktion und setze die 1. Bedingung ein. Da der Graph die x-Achse bei x=1x=-1 berührt, liegt dort eine doppelte Nullstelle.
f(x)=yz=(x+1)2zf(x)=\dfrac{y}{z}=\dfrac{(x+1)^2}{z}
Setze jetzt die 2. Bedingung ein. Es muss eine nicht-hebbare Definitionslücke bei x=3x=3 geben.
f(x)=(x+1)2x3f(x)=\dfrac{(x+1)^2}{x-3}
Der Graph von f hat eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei x1=2{\mathrm x}_1=2 und für x±\mathrm x\rightarrow\pm\infty die Asymptote y=0,5\mathrm y=0,5

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion

Stelle eine allgemeine Form einer gebrochenrationalen Funktion auf:
f(x)=yz\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm y}{\mathrm z}
Setze die 1. Bedingung ein (Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei 2)
\Rightarrow   Funktion bei 2 nicht definiert
    f(x)=y(x2)2\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm y}{\left(\mathrm x-2\right)^2}
Setze die 2. Bedingung ein (Asymptote bei 0,5), d. h. Zählergrad = Nennergrad und es muss einen Faktor 0,5 geben.
    f(x)=0,5x2(x2)2\Rightarrow\;\;\mathrm f( x)=\dfrac{0,5\cdot x^2}{\left(x-2\right)^2}
Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle)
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7469_IcDX9l4Fej.xml
Der Graph von f hat Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei x1=1{\mathrm x}_1=-1 und  x2=2{\mathrm x}_2=2 und für x±\mathrm x\rightarrow\pm\infty die Asymptote y=0,5x1\mathrm y=0,5\mathrm x-1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)=yz\frac yz
Setze die 1. Bedingung ein: Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei -1 und 2
f1(x)=1(x+1)(x2){\mathrm f}_1(\mathrm x)=\frac1{\left(\mathrm x+1\right)\left(\mathrm x-2\right)}
Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei 0,5x10,5\mathrm x-1
    f(x)=0,5x1+1(x+1)(x2)\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=0,5\mathrm x-1+\frac1{\left(\mathrm x+1\right)\left(\mathrm x-2\right)}
Zeichne eine Skizze der Funktion
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7475_tecuEwo62s.xml
Der Graph von f hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x1=2{\mathrm x}_1=-2 , ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat für x±\mathrm x\rightarrow\pm\infty die Asymptote y=0\mathrm y=0

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)= yz\frac yz
Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei -2
\Rightarrow auch Polstelle bei 2, da Funktion punktsymmetrisch sein soll
f(x)=1(x+2)(x2)=1x24\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\left(\mathrm x+2\right)\left(\mathrm x-2\right)}=\frac1{\mathrm x^2-4}
Setze 2. Bedingung ein: punktsymmetrisch zum Ursprung
    f(x)=xx24\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x^2-4}
Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle).
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7477_7NLeK9E6yH.xml
Der Graph von f hat eine Polstelle bei x1=0{\mathrm x}_1=0 und ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Für x±\mathrm x\rightarrow\pm\infty hat der Graph die Asymptote y=0\mathrm y=0 und bei x2=2{\mathrm x}_2=2 befindet sich eine Nullstelle.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x) = yz\frac yz
Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle bei 0 und achsensymmetrisch
\Rightarrow bei 0 nicht definiert (unter dem Bruch) und gerade Potenz
f(x)=1x2n\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\mathrm x^{2\mathrm n}}
Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei y=0\mathrm y=0
f(x)=1x4\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\mathrm x^4}
Setze die 3. Bedingung ein: Nullstelle bei 2 und achsensymmetrisch.
    f(x)=x24x4\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm x^2-4}{\mathrm x^4}
Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle).
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7481_6m54KE83kD.xml
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