Aufgaben

Gib den Term einer (möglichst einfachen) gebrochen rationalen Funktion f an, die folgende Eigenschaften besitzt.

  • Der Graph von %%f%% berührt die x-Achse an der Stelle %%x=-1%%;
  • die Funktion %%f%% hat die Polstelle %%x=3%%.

Überlege dir die Form einer gebrochen-rationalen Funktion und setze die 1. Bedingung ein. Da der Graph die x-Achse bei %%x=-1%% berührt, liegt dort eine doppelte Nullstelle.

%%f(x)=\dfrac{y}{z}=\dfrac{(x+1)^2}{z}%%

Setze jetzt die 2. Bedingung ein. Es muss eine nicht-hebbare Definitionslücke bei %%x=3%% geben.

%%f(x)=\dfrac{(x+1)^2}{x-3}%%

Der Graph von f hat eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei %%{\mathrm x}_1=2%% und für %%\mathrm x\rightarrow\pm\infty%% die Asymptote %%\mathrm y=0,5%%

Stelle eine allgemeine Form einer gebrochenrationalen Funktion auf

  %%\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm y}{\mathrm z}%%

Setze die 1. Bedingung ein (Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei 2)

%%\Rightarrow%%   Funktion bei 2 nicht definiert

%%\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm y}{\left(\mathrm x-2\right)^2}%%

Setze die 2. Bedingung ein (Asymptote bei 0,5). D. h. Zählergrad = Nennergrad und es muss einen Faktor 0,5 geben.

  %%\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{0,5\cdot\mathrm x^2}{\left(\mathrm x-2\right)^2}%%

 Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle)

 Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7469_IcDX9l4Fej.xml

Der Graph von f hat Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei %%{\mathrm x}_1=-1%% und  %%{\mathrm x}_2=2%% und für %%\mathrm x\rightarrow\pm\infty%% die Asymptote %%\mathrm y=0,5\mathrm x-1%%

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)=%%\frac yz%%

Setze die 1. Bedingung ein: Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei -1 und 2

%%{\mathrm f}_1(\mathrm x)=\frac1{\left(\mathrm x+1\right)\left(\mathrm x-2\right)}%%

Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei %%0,5\mathrm x-1%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=0,5\mathrm x-1+\frac1{\left(\mathrm x+1\right)\left(\mathrm x-2\right)}%%

Zeichne eine Skizze der Funktion

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7475_tecuEwo62s.xml

Der Graph von f hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei %%{\mathrm x}_1=-2%% , ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat für %%\mathrm x\rightarrow\pm\infty%% die Asymptote %%\mathrm y=0%%

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)= %%\frac yz%%

Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei -2

%%\Rightarrow%% auch Polstelle bei 2, da Funktion punktsymmetrisch sein soll

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\left(\mathrm x+2\right)\left(\mathrm x-2\right)}=\frac1{\mathrm x^2-4}%%

Setze 2. Bedingung ein: punktsymmetrisch zum Ursprung

%%\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x^2-4}%%

Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle)

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7477_7NLeK9E6yH.xml

Der Graph von f hat eine Polstelle bei %%{\mathrm x}_1=0%% und ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Für %%\mathrm x\rightarrow\pm\infty%% hat der Graph die Asymptote %%\mathrm y=0%% und bei %%{\mathrm x}_2=2%% befindet sich eine Nullstelle.

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x) = %%\frac yz%%

Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle bei 0 und achsensymmetrisch

%%\Rightarrow%% bei 0 nicht definiert (unter dem Bruch) und gerade Potenz

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\mathrm x^{2\mathrm n}}%%

Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei %%\mathrm y=0%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\mathrm x^4}%%

Setze die 3. Bedingung ein: Nullstelle bei 2 und achsensymmetrisch

%%\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm x^2-4}{\mathrm x^4}%%

Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle)

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7481_6m54KE83kD.xml

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