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Aufgaben zur direkten Proportionalität

1

Die folgende Wertetabelle enthält direktproportionale Wertepaare. Berechne die fehlenden Werte und trage die Wertepaare in ein Gitternetz ein.

Menge in Liter

4

6

8

Preis in €

6

12

16,5

Lösung anzeigen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität

Graphisch Lösen

Zeichne die beiden Wertepaare (46)(4|6) und (812)(8|12) in ein Koordinatensystem und zeichne die Gerade durch die beiden Punkte. Nun kannst du die anderen Werte ablesen.

xx-Achse: 1cm1\mathrm{cm} entspricht 2l2l

yy-Achse: 1cm1\mathrm{cm} entspricht 22€

Graph zu direkte Propotionalität

Menge in Liter

4

6

8

11\displaystyle \color{#006400}{11}

Preis in €

6

9\displaystyle \color{#006400}{9}

12

16,5

Rechnerische Lösung

Verwende die Proportionalitätskonstante, um den Preis pro Liter zu bestimmen. Dividiere dazu bei einem Wertepaar den Preis durch die Literanzahl:

66:4l=1,5:4 l = 1,5 €/ll

Ein Liter kostet also 1,501,50

Berechne damit den Preis für 6l6 l:

6l1,56 l \cdot 1,5 €/l=9l= 9

6l6 l kosten also 99 €.

Beim letzen Wertepaar weißt du, dass 16,5016,50 € bezahlt wurden. Teile diese Zahl durch den Literpreis von 1,501,50 €/ll

16,5016,50:1,50: 1,50/l=11l/l =11 l

Für 16,5016,50 € bekommt man also 11l11 l.

Hinweis: Man kann diese Aufgabe auch anders lösen, zum Beispiel mit dem Dreisatz. Wenn du einen anderen, richtigen Lösungsweg hast, kannst du ihn hier gerne noch ergänzen.

2

Ein 8,4m langer Pfahl steckt zu 14\frac14 im Boden und zu 30% im Wasser. Fertige eine Skizze mit den gegebenen Daten an und berechne wie viele Meter des Pfahls aus dem Wasser herausragen.

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität

Aus der Angabe entnimmst du folgende Informationen:

Länge des Pfahls: 8,4m8,4 m

im Wasser: 30%30\% des Pfahls

im Boden: 14\frac{1}{4} des Pfahls

Zeichne zuerst eine Skizze mit den angegebenen Daten.

GeoGebra

Nun gibt es 2 Möglichkeiten, die Aufgabe zu lösen.

1. Möglichkeit:

Strategie: Berechne zuerst wie viel Prozent des Pfahls und anschließend wie viele Meter des Pfahls aus dem Wasser herausragen.

Wandle zunächst die Anteile in Prozentangaben um.

30% des Pfahls sind im Wasser.

14=25%\frac14=25\% des Pfahls stecken in der Erde.

Addiere die Prozentangaben um den Anteil zu erhalten, der nicht aus dem Wasser herausragt.

25% + 30% = 55%

Berechne den Anteil des Pfahls der aus dem Wasser herausragt.

100% entsprechen der gesamten Länge des Pfahls.55% des Pfahls sind unter Wasser oder in der Erde.

Also sind 100% - 55% = 45% über Wasser.

Jetzt kannst du den Anteil in Meter berechnen, der aus dem Wasser herausragt.

0.458,4m=3,78m0.45 \cdot 8,4m= 3,78 m

Diese 45% entsprechen 3,78m.

2. Möglichkeit:

Strategie: Berechne zunächst wie viel Meter des Pfahls im Wasser bzw. im Boden sind und subtrahiere dies anschließend von der Gesamtlänge des Pfahls.

Bestimme die Länge des Pfahls, die im Boden steckt.

14\frac14 von den 8,4mm stecken im Boden.148,4m=2,1m\frac14 \cdot 8,4m =2,1m.

2,1mm des Pfahls stecken im Boden.

Berechne die Länge des Pfahls, die im Wasser steht, mit Hilfe des Dreisatzes.

8,4m8,4 m =^\widehat{=} 100%100\%

8.4100m=0.084m\frac{8.4}{100}m = 0.084 m =^\widehat{=} 1%1\%

8.4100m30\frac{8.4}{100}m \cdot 30 =^\widehat{=} 1%301\% \cdot 30

30%\Rightarrow 30\% =^\widehat{=} 2,52m2,52m

2,52m2,52m des Pfahls stehen im Wasser.

Subtrahiere die beiden Längen von der Gesamtlänge, um die Länge des Pfahls zu berechnen, die aus dem Wasser herausragt.

8.4m2.52m2.1m=3,78m8.4 m - 2.52 m -2.1 m =3,78 m

Es ragen 3,78mm des Pfahls aus dem Wasser.

3

Folgende direktproportionale Zuordnung ist gegeben:

https://smart.uni-bayreuth.de/data/rs/Mathematik/j06/501/425/425.html

Quelle: https://smart.uni-bayreuth.de/data/rs/Mathematik/j06/501/425/425.html

Bild
  1. Lies aus dem Diagramm ab, wie weit ICE und RE jeweils in 2 h fahren.

  2. Berechne den Proportionalitätsfaktor für ICE und RE! Was bedeutet er?

  3. Eine Regionalbahn fährt in 4h 300km. Trage diese Halbgerade ein!

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Teilaufgabe 1

Der ICE fährt 400 km in 2 h.

Der RE hingegen 300 km in 2 h.

Teilaufgabe 2

Der Proportionalitätsfaktor kICEk_{ICE} des ICE beträgt 200 km in einer Stunde.

Der Proportionalitätsfaktor kREk_{RE} des RE beträgt 150 km in einer Stunde.

Diese Proportionalitätsfaktoren sind Geschwindigkeiten in der Einheit kmh\frac{km}h.

Teilaufgabe 3

Die Regionalbahn (RB) fährt in 4 h 300 km. Somit beträgt die Geschwindigkeit 75 kmh\frac{km}h.

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4

Überprüfe, ob jeweils eine direkte proportionale Zuordnung vorliegt und begründe kurz.

Teilaufgabe a.

Verbrauch in Liter

Strecke in km

4,25

12,75

70

210

Teilaufgabe b.

Stückzahl

Preis in €

2

4

10

1,60

3,20

7,20

Teilaufgabe c.

Menge in kg

Preis in €

2,5

0,5

10,0

2,5

Lösung anzeigen

Teilaufgabe a.

Hier liegt eine direkte proportional Zuordnung vor. Der Proportionalitätsfaktor ist konstant.

Es gilt: 70  km:4,25  l=210  km:12,75  l70\;km:4,25\;l=210\;km:12,75\;l

Teilaufgabe b.

Diese Zuordnung ist nicht direkt proportional.

Es ist: 1,60:2=0,80=3,20:41,60€:2=0,80€=3,20€:4, aber 7,20:10=0,720,807,20€:10=0,72€\neq0,80€.

Teilaufgabe c.

Die Zuordnung ist nicht direkt proportional. Die Quotienten "Preis pro Menge" sind nicht gleich groß.

10:2,5kg=4:kg5:kg=2,5:0,5kg\displaystyle 10€:2,5kg=4€:kg\neq5€:kg=2,5€:0,5kg
5

Ein Getränkemarkt verkauft für ein Fest 55 Kisten Cola für 522,50 Euro. Wie viel muss man für 77 Kisten zahlen, wenn es keinen Rabatt gibt?

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Direkte Proportionalität

55 Kisten kosten 522,50€.

Dividiere durch 5, um auszurechnen, wieviel 11 Kisten kosten.

522,50:5=104,50\displaystyle 522,50€:5=104,50€

11 Kisten kosten 104,50€.

Multipliziere mit 7, um auszurechnen, wieviel 77 Kisten kosten.

104,507=731,50\displaystyle 104,50€\cdot7=731,50€

        \;\;\Rightarrow\;\; 77 Kisten kosten 731,50€.

6

Ein Getränkemarkt verkauft für ein Fest 55 Kisten Cola für 522,50 Euro. Wie viele Kisten erhält man für 200 Euro? (Aufschreiben des Rechenausdrucks genügt, ausrechnen ist nicht verlangt.)

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Direkte Proportionalität

Für diese Aufgabe brauchst du Direkte Proportionalität.

55 Kisten kosten 522,50€. Das heißt also

\displaystyle 55 \ \text{Kisten} \ \widehat= \ 522,50€.

Dividiere durch 522,50, um auszurechnen, welchen Anteil einer Kiste man für 1€ bekommt.

55522,50 Kisten =^ 1\displaystyle \frac{55}{522,50} \ \text{Kisten} \ \widehat= \ 1€

Multipliziere mit 200, um auszurechnen, wieviele Kisten man für 200€ bekommt.

55200522,50 Kisten21 Kisten =^ 200\displaystyle \frac{55\cdot200}{522,50} \ \text{Kisten} \approx21 \ \text{Kisten} \ \widehat= \ 200€

        \;\;\Rightarrow\;\; Man kann etwa 21 Kisten für 200€ kaufen.